Hatványtörvény

A matematikában a hatványtörvény két mennyiség közötti kapcsolatról szól.

Ha egy esemény változása valamely jellemzőjének hatványával arányos, akkor azt mondjuk, hogy a hatványtörvény szerint viselkedik.

Az ábrán egy példa látható a hatványtörvényre, amely mutatja a lakosság rang szerinti eloszlását. Jobb felé hosszú farok látható, ez a lakosság többsége, és bal oldalon azon kevesek, akik dominálnak (80-20-as törvényként vagy Pareto-elvként is ismert).

Például ha egy város populációja a lakossága számának hatványa szerint változik, ekkor a hatványtörvény szerint történik a változás.

Bizonyítható, hogy számos fizikai, biológiai és emberalkotta jelenség a hatványtörvény szerint működik, mint például a földrengések mérete, a Hold kráterei, a Napkitörések, legtöbb nyelvben a szavak előfordulási gyakorisága, családi nevek előfordulása, háborúk mérete, és sok más mennyiség.^[1]^[2]^[3]^[4]

A hatványtörvény tulajdonságai

Skála-invariancia

A hatványtörvény fő jellemzője, ami érdekessé teszi, a skálainvariancia. Tekintsük a $f(x)=ax^{k}$ függvényt. Ha megváltoztatjuk az $x$ jellemzőt egy $c$ konstanssal, akkor az eredeti függvényt ez csak arányaiban módosítja, azaz:

f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x).\!

vagyis a $c$ csak megszorozza az eredeti összefüggést, egy $c^{k}$ konstanssal. Ezért a hatványtörvény szerint viselkedő összefüggések egymástól csak egy adott skálatényezővel különböznek.

Ez a viselkedés produkálja azt a lineáris összefüggést, amikor vesszük $f(x)$ és $x$ logaritmusait, és ezért a log-log ábrázolásban az egyenes vonalat, a hatványtörvény aláírásának is szokták hívni.

Valós adatok esetén ez az egyenesség szükségszerű, de nem elégséges feltétel ahhoz, hogy az adat a hatványtörvényt követi.

Valójában, több módon is lehet olyan adatokat generálni, melyek ‘mímelik’ ezt az ‘aláírás’ viselkedést, de az aszimptotikus határoknál nem valódi hatványtörvények ( például, ha lognormális eloszlás szerint generálunk adatokat, stb.).

Ezért a statisztikai kutatásban aktív terület a hatványtörvény megállapítása, érvényesítése.

Hatványtörvény összefüggések

Általánosságban a hatványtörvény a fenti polinom formáját követi, és széles körben található a matematikában és egyéb tudományokban.

Mindazonáltal, nem minden polinom függvény hatványtörvény, mert nem minden polinom rendelkezik a skála invariancia tulajdonságával.

Tipikusan, egyváltozós polinomok felelnek meg a hatványtörvénynek, és ezt explicit módon használják természeti folyamatok leírására.

Például, az alometria skála törvénye a legjobban ismert hatványtörvény a biológiában. Ebben a kontextusban, a $o(x^{k})$ kifejezés a legtipikusabb kifejezés, mely kiegészítve a $\varepsilon$ szórási/eltérési taggal, reprezentálja számos megfigyelés bizonytalanságát (mérési vagy mintavételi hibák), vagy egy egyszerű módot nyújt a hatványtörvénytől történő eltérés észlelésére:

y=ax^{k}+\varepsilon .\!

A tudományos érdeklődés a hatványtörvény iránt részben abból származik, hogy megkönnyíti bizonyos általános mechanizmusok megértését.

A hatványtörvény egyes adatmennyiségnél, egy speciális mechanizmusra utal, ami alapjául szolgálhat a kérdéses adatok természet jelenségként való értékelésének, és jelezhet egy mélyebb összefüggést más, nem közvetlenül kapcsolódó rendszerekkel.

A mindenhol jelenlevő hatványtörvény a fizikában részben a fizikai korlátok miatt van, míg komplex rendszereknél gyakran jelzi a sztochasztikus folyamatok specifikus hierarchiáját.

Néhány figyelemre méltó példa: a Gutenberg-Ricter féle törvény a földrengések méretére vonatkozóan, a Pareto-eloszlás, a jövedelmek eloszlásáról, vagy a fraktálok strukturális azonossága, stb.

A hatványtörvény eredetének kutatása aktív téma a fizikában, számítástechnikában, nyelvészetben, geofizikában, neurotudományokban, szociológiában, gazdaságtanban, és sok más tudományágban.

A hatványtörvény iránti érdeklődés többnyire a valószínűség eloszlások tanulmányozásából ered. Ismert, hogy az eloszlások nagy része követi a hatványtörvényt, de legalábbis a felső faroknál (a nagy mennyiségeknél).

Ezen nagy mennyiségek viselkedése kapcsolódik a nagy eltérések elméletéhez (más néven: extrémérték-elmélet), mely az extrém ritka eseményeket tanulmányozza, mint például egy tőzsdekrach és nagy természeti katasztrófák.

Példák a hatványtörvényre

Stevens-féle hatványtörvény a pszichofizikában
Stefan–Boltzmann-törvény
FET és Vákuumcsővek esetében a bemeneti feszültség – kimeneti áram görbék
van der Waals-erők modellje
Az egyszerű harmonikus mozgás
Kepler harmadik törvénye
M-sigma összefüggés
Kleiber-törvény
Taylor-törvény (ekológia)
Tér-kocka törvény (a felület aránya a tömeghez képest)
Fraktálok
Pareto-elv
Zipf-eloszlás
Biztonságos működési terület félvezetőkben (maximális feszültség és áram)
Konstrukciós törvény

Változatok

Tört hatványtörvény

A tört hatványtörvény határértékkel definiálható:

f(x)\propto x^{\alpha _{1}}

for

x<x_{\text{th}}

,

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}

for

x>x_{\text{th}}

.

Hatványtörvény exponenciális lezárással

Ebben az esetben a hatványtörvény egy exponenciális függvénnyel van megszorozva:

f(x)\propto x^{\alpha }e^{\beta x}.

Hajlított hatványtörvény

f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}

Grafikai módszerek a hatványtörvény azonosítására

Több módszer is ismert a hatványtörvény grafikai azonosítására.

A legtöbbet használt módszer a véletlenszerű mintákból készített Pareto Q-Q ábrázolás (Q, kvantilist jelent). Feltételezzük, hogy a véletlenszerűen vett minták egy valószínűségi eloszlásból származnak, és végül is azt szeretnénk megtudni, hogy az eloszlás farok része megfelel a hatványtörvénynek (más szavakkal: az eloszlásnak van-e Pareto farok része).

Egy másik grafikus módszer a reziduális kvantilis függvények alkalmazása.

A log-log típusú ábrázolás is alkalmas a hatványtörvény grafikus felismerésére.Ennek a módszernek a hátránya, hogy nagy mennyiségű diszkrét adatra van szükség.

Irodalom

Clauset, A., Shalizi, C. R. and Newman, M. E. J: Power-law distributions in empirical data. (hely nélkül): SIAM Review 51 (4):. 2009. 661–703. o.
Stumpf, M.P.H. and Porter, M.A: Critical Truths about Power Laws. (hely nélkül): Science 2012. 2000. 335., 665–6. o.
Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ Humphries NE, Queiroz N, Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW (2010). „Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators”. Nature 465 (7301), 1066–1069. o. DOI:10.1038/nature09116. PMID 20531470.
↑ Klaus A, Yu S, Plenz D (2011). „Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches”. PLoS ONE 6 (5), e19779. o. DOI:10.1371/journal.pone.0019779. PMID 21720544. PMC 3102672.
↑ Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes. Berkeley: University of California Press (2011)
↑ Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, M. E. J. Newman (2009). „Power-law distributions in empirical data”. SIAM Review 51 (4), 661–703. o. DOI:10.1137/070710111.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Power law című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

[Humphries-1] Humphries NE, Queiroz N, Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW (2010). „Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators”. Nature 465 (7301), 1066–1069. o. DOI:10.1038/nature09116. PMID 20531470.

[Klaus-2] Klaus A, Yu S, Plenz D (2011). „Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches”. PLoS ONE 6 (5), e19779. o. DOI:10.1371/journal.pone.0019779. PMID 21720544. PMC 3102672.

[3] Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes. Berkeley: University of California Press (2011)

[Clauset-4] Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, M. E. J. Newman (2009). „Power-law distributions in empirical data”. SIAM Review 51 (4), 661–703. o. DOI:10.1137/070710111.

[1]

[2]

[3]

[4]