Pareto-eloszlás

A Pareto-eloszlás folytonos, félig végtelen intervallumú eloszlás [0,∞), mely számos szociális, tudományos, geofizikai és biztosítási területen alkalmazható, illetve jellemző az ezeken a területeken tapasztalt jelenségekre. A közgazdaságtan területén kívül időnként Bradford-eloszlásnak nevezik. A Pareto-eloszlás Vilfredo Pareto (1848 – 1923) olasz mérnök, szociológus, közgazdász és filozófusról kapta a nevét.

Alkalmazása

Pareto eredetileg ezt az eloszlást egy társadalmi jelenségre alkalmazta.

Pareto azt állította, hogy a megtermelt javak közel 80%-a a társadalom 20%-ához kerül a társadalomra jellemző vagyonelosztás során.

Az elméletét a keresetek eloszlására is alkalmazta.

Ezt az elképzelést egyszerűbben az úgynevezett Pareto-elv fejezi ki, vagy más néven a “80-20-as szabály”,mely azt mondja, hogy a lakosság 20%-a befolyásolja a népesség 80%-nak a vagyonát. Megjegyzendő, hogy a 80-20-as szabály csak bizonyos α értékek mellett érvényes. A korabeli angol adatok szerint a lakosság 30%-a rendelkezik a bevételek 70%-val. A valószínűség sűrűségfüggvényen látható, hogy a lakosság tört része, mely személyre vetítve birtokolja a vagyon kis részét, illetve ennek nagy a valószínűsége, majd egyenletesen csökken, ahogy a vagyon nő. (meg kell jegyezni, hogy a Pareto-eloszlás nem nyújt teljesen reális képet az alsó végen).

Az eloszlás nem korlátozódik csak a lakosság vagyoni eloszlására, a következő esetekben is közelítően alkalmazható a Pareto-eloszlás:

• Települések eloszlása (kevés város, sok falu/kis település) )
• Internet forgalom eloszlása (sok kicsi fájl, kevesebb nagy fájl)
• Merevlemezek hibarátája
• Bose-Einstein-féle sűrűsödés az abszolút zéró közelében
• Olajmezők eloszlása
• Meteoritok mérete
• Homokszemcsék mérete
• Erdőtüzek eloszlása
• Meteorológiában:az évenkénti árvizek és nagy csapadékok eloszlása/valószínűsége

Meghatározás

Valószínűségsűrűség-eloszlás

Kumulatív eloszlás függvény

Ha X a Pareto-eloszlás (I. Tip) valószínűségi változója, akkor annak valószínűsége, hogy X nagyobb, mint x, azaz a túlélési függvény (farok függvénynek is hívják):

${\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{for }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&{\text{for }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

ahol x_m a minimálisan lehetséges (pozitív) értéke X-nek, és α egy pozitív paraméter. Az I. típusú Pareto-eloszlást a x_m skálaparaméter, és a α paraméter jellemzi, mely farok indexként is ismert. Abban az esetben, amikor a Pareto-eloszlást a gazdagság eloszlására használják, akkor az α paramétert Pareto-indexnek hívják.

Tulajdonságok

Kumulatív eloszlás függvény

A Pareto-eloszlás kumulatív eloszlás függvénye α és x_m paraméterekkel:

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{for }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&{\text{for }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Ha lineáris koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor az eloszlás az ismerős J alakú görbét mutatja, mely aszimptotikusan közelít mindkét végén. Log-log koordináta-rendszerben ábrázolva egyenes vonal adódik.

Valószínűségsűrűség-függvény

$f_{X}(x)={\begin{cases}\alpha \,{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{for }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{for }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Momentum és a karakterisztikus függvény

A Pareto-eloszlást követő valószínűségi változó várható értéke:

$E(X)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}\alpha \leq 1\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{if }}\alpha >1\end{cases}}.$

A szórásnégyzet:

$\mathrm {Var} (X)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}\alpha \in (1,2]\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&{\text{if }}\alpha >2\end{cases}}.$

(Ha $\alpha \leq 1$, a szórásnégyzet nem létezik). A momentum:

$\mu _{n}'={\begin{cases}\infty &{\text{if }}\alpha \leq n\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&{\text{if }}\alpha >n\end{cases}}.$

A momentum generáló függvény csak nem pozitív értékekre definiálható (t≤0 ):

$M\left(t,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=E(e^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ and }}M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.\,$

A karakterisztikus függvény:

$\varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),$

ahol Γ(a, x) az inkomplett gamma függvény.

Geometrikus várható érték

A geometrikus várható érték (G):

$G=x_{m}\exp(1/\alpha )$

Harmonikus várható érték

A harmonikus várható érték (H):

$H=x_{m}(1+{\frac {1}{\alpha }})$

Kapcsolat más eloszlásokkal

Exponenciális eloszlás

A Pareto-eloszlás a következő módon kapcsolódik az exponenciális eloszláshoz: Ha X is Pareto-eloszlású minimum x_m és index α, paraméterekkel, akkor:

$Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)$

akkor exponenciális eloszlású α intenzitással.

Hasonlóan, ha Y exponenciális eloszlású α intenzitással, akkor

$x_{\mathrm {m} }e^{Y}\,$

Pareto-eloszlású, minimum x_m és index α paraméterekkel.

Lognormális eloszlás

A Pareto-eloszlás és a log-normális eloszlás egymásnak alternatív eloszlásai a hasonló tipusú mennyiségek esetén. A kettő közötti kapcsolatra jellemző, hogy mindkét esetben a változók eloszlása exponenciális, más paraméterek mellett.

Zipf-eloszlás

Míg a Pareto-eloszlás folytonos eloszlás, a Zipf-eloszlást szokták Zéta-eloszlásnak is hívni, és a Pareto-eloszlás diszkrét változatának.

Szimmetrikus Pareto-eloszlás

A szimmetrikus Pareto-eloszlást a sűrűség függvénnyel definiálhatjuk:

$f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{for }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{egyébként}}.\end{cases}}$

A Pareto-eloszlással hasonló formája van $x>x_{\mathrm {m} }$ esetben, és az y tengelyre tükörszimmetrikus.

Irodalom

• M. O. Lorenz: Methods of measuring the concentration of wealth. (hely nélkül): Publications of the American Statistical Association 9 (70). 1905. 209–219. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Zipf-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Theil-index

További információk

• A Pareto-eloszlás a MathWorld-ön
• [https://web.archive.org/web/20120421080915/http://www3.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/introduction.htm Archiválva 2012. április 21-i dátummal a Wayback Machine-ben Bevezetés]
• Online könyv
• Online könyvek
• Online kalkulátor Pareto-eloszlás