A matematikában az n -edik harmonikus szám az első n pozitív egész szám reciprokának az összege:
H
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
.
{\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
Ez egyébként egyenlő ezen számok harmonikus közepe reciprokának az n -szeresével.
Harmonikus szám
H
n
,
1
{\displaystyle H_{n,1}}
n
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor }
γ
+
ln
[
x
]
{\displaystyle \gamma +\ln[x]}
A harmonikus számokat már az ókorban is tanulmányozták, és a számelméletben fontos szerepet töltenek be. A harmonikus sor részletösszegei, és szorosan kapcsolódnak a Riemann-féle zéta-függvényhez .
Amikor egy nagy volumenű mennyiség a Zipf-törvény szerinti eloszlást mutat, a legértékesebb tétel az n -edik harmonikus.
Ez számos meglepő eredményhez vezet a hosszú farok - és a hálózatelméletben.
Az integrállal történő kifejezés Eulertől ered:
H
n
=
∫
0
1
1
−
x
n
1
−
x
d
x
.
{\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}
A fenti egyenlőség nyilvánvalóan következik az alábbi egyenlőségből:
1
−
x
n
1
−
x
=
1
+
x
+
⋯
+
x
n
−
1
{\displaystyle \quad {\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}
Elegáns kombinatorikai kifejezés nyerhető
H
n
{\displaystyle \,H_{n}}
x
=
1
−
u
{\displaystyle \,x=1-u}
H
n
=
∫
0
1
1
−
x
n
1
−
x
d
x
=
−
∫
1
0
1
−
(
1
−
u
)
n
u
d
u
=
∫
0
1
1
−
(
1
−
u
)
n
u
d
u
=
∫
0
1
[
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
n
k
)
u
k
−
1
]
d
u
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
n
k
)
∫
0
1
u
k
−
1
d
u
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
1
k
(
n
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}
Hasonló kifejezés nyerhető a harmadik Retkes-azonosság felhasználásával:
x
1
=
1
,
…
,
x
n
=
n
{\displaystyle x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n}
Π
k
(
1
,
…
,
n
)
=
(
−
1
)
n
−
k
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}
H
n
=
H
n
,
1
=
∑
k
=
1
n
1
k
=
(
−
1
)
n
−
1
n
!
∑
k
=
1
n
1
k
2
Π
k
(
1
,
…
,
n
)
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
1
k
(
n
k
)
{\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}}
H n n természetes logaritmusa. Ennek az oka, hogy az összeg közelíthető egy integrállal:
∫
1
n
1
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx}
melynek értéke: ln(n ).
H n n ) sor monoton csökken a korlátja felé:
lim
n
→
∞
(
H
n
−
ln
n
)
=
γ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma }
(ahol γ az Euler–Mascheroni-konstans : 0,5772156649...), és a megfelelő aszimptotikus kiterjesztés, amint
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
H
n
∼
ln
n
+
γ
+
1
2
n
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
n
2
k
=
ln
n
+
γ
+
1
2
n
−
1
12
n
2
+
1
120
n
4
−
⋯
{\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots }
ahol
B
k
{\displaystyle B_{k}}
Bernoulli-számok .
A harmonikus számok generáló függvénye:
∑
n
=
1
∞
z
n
H
n
=
−
ln
(
1
−
z
)
1
−
z
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}
ahol
ln
(
z
)
{\displaystyle \ln(z)}
természetes logaritmus .
Egy exponenciális generáló függvény:
∑
n
=
1
∞
z
n
n
!
H
n
=
−
e
z
∑
k
=
1
∞
1
k
(
−
z
)
k
k
!
=
e
z
Ein
(
z
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)}
ahol
Ein
(
z
)
{\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)}
exponenciális integrál .
Megjegyezzük, hogy:
Ein
(
z
)
=
E
1
(
z
)
+
γ
+
ln
z
=
Γ
(
0
,
z
)
+
γ
+
ln
z
{\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z\,}
ahol
Γ
(
0
,
z
)
{\displaystyle \Gamma (0,z)}
inkomplett gamma-függvény .
A harmonikus számok számos alkalmazásban megtalálhatók, mint például a digamma-függvénynél :
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
.
{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .\,}
γ
=
lim
n
→
∞
(
H
n
−
ln
(
n
+
1
2
)
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}}
mely gyorsabban konvergál.
2002-ben Jeffrey Lagarias bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis egyenlő a következő állítással:
σ
(
n
)
≤
H
n
+
ln
(
H
n
)
e
H
n
,
{\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}},}
igaz minden n ≥ 1 egész számra; szigorú egyenlőtlenséggel, ha n > 1. Itt σ(n ) az n osztó összege.
Az általánosított harmonikus szám:
H
n
,
m
=
∑
k
=
1
n
1
k
m
.
{\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}
n a végtelenbe tart, ha
m
>
1
{\displaystyle m>1}
H
n
,
m
=
H
n
(
m
)
=
H
m
(
n
)
.
{\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).}
A speciális esetben, amikor
m
=
1
{\displaystyle m=1}
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
.
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
Ha a korlát
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
lim
n
→
∞
H
n
,
m
=
ζ
(
m
)
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}
Az általánosított harmonikus számok generáló függvénye:
∑
n
=
1
∞
z
n
H
n
,
m
=
L
i
m
(
z
)
1
−
z
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\mathrm {Li} _{m}(z)}{1-z}},}
ahol
L
i
m
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{m}(z)}
polilogaritmus és |z | < 1.
A fent megadott képletnél az m=1 egy speciális eset.
Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn: A Stirling Encounter with Harmonic Numbers. (hely nélkül): Mathematics Magazine, 75 (2). 2002.
Peter Paule and Carsten Schneider: Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities. (hely nélkül): Adv. in Appl. Math. 31 (2). 2003. 359–378. o.
Zoltán Retkes: An Extension of the Hermite–Hadamard Inequality. (hely nélkül): Acta Sci. Math. (Szeged). 2008. 95–106. o. 
![{\displaystyle \gamma +\ln[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16fb50fd16271d045dcb8cb474494fe53c9ca26)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e15138f4a0fe5dfd6c55ad653ec28f4415b7b84)
