A matematikában harmonikus sornak nevezzük a
divergens sort.
Az elnevezésnek az a forrása, hogy egy h hullámhosszú hang felhangjának a hullámhosszai h/n (n=2,3,...). A
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(h/n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5c094d1ecebf317869e66827e5a5d60ab3e9c8)
sor tehát tartalmazza a hangot az összes felhangjával együtt. Mivel a felhangokat több nyugati nyelven harmonikusoknak is nevezik, így a sor harmonikus.
Konkrétan h/2,h/3,...,h/8 rendre az oktáv, az oktáv és kvint, a második oktáv, a két oktáv és nagy terc, a két oktáv és kvint, a két oktáv és szeptim, valamint a harmadik oktáv hullámhosszai.
A divergencia bizonyítása[szerkesztés]
Ha a sor n-edik részletösszege sn, akkor
![{\displaystyle s_{2n}-s_{n}=\left(1+{\frac {1}{2}}+...+{\frac {1}{2n}}\right)-\left(1+{\frac {1}{2}}+...+{\frac {1}{n}}\right)=\left({\frac {1}{n+1}}+...+{\frac {1}{2n}}\right)\geq {n}\cdot {\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa872df43b5f300ad3da154df98ba690a49af40)
minden n-re. Tegyük fel, hogy a sor konvergens és az összege A. Ekkor
esetén
, ami lehetetlen.
Végtelen sok prímszám létezik[szerkesztés]
Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van. A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek
. Minden i-re és N-re fennállnak az
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{p_{i}}}+...+{\frac {1}{p_{i}^{N}}}={\frac {1-p_{i}^{-\left(N+1\right)}}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}<{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daf7e28b9ad7e825393d486a3f7065fef0afbe0)
összefüggéseket. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left(1+{\frac {1}{p_{i}}}+...+{\frac {1}{p_{i}^{N}}}\right)<\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0683f42c3de9026d0be4fb1f6f71e408296ecaec)
minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb N (hiszen az indirekt feltevés szerint nincs más prím
-n kívül). Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát
.
Ez azonban lehetetlen, hiszen
, ha
.
A prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens[szerkesztés]
Az előző bizonyítást felhasználva, annak jelöléseit használva bizonyíthatjuk azt is, hogy a prímszámok reciprokaiból alkotott sor is divergens. Hiszen a fentiek alapján
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{N}\left(1+{\frac {1}{p_{i}}}+...+{\frac {1}{p_{i}^{N}}}\right)<\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c8a5d56fb9b11e27a55dedc68c18bae4a0b789)
is fennáll minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor itt minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelyiknek a prímtényezős felbontásában az első N prím szerepel, és mindegyik kitevője is legfeljebb N. Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát
.
Mivel
, vehetjük a két oldal természetes alapú logaritmusát, és becsülhetjük a jobb oldalon a tagokat
-gyel:
,
mivel
, amiért is
.
Tehát ha
, akkor
,
, továbbá
.
Emiatt a
sor divergens.