Divergens sorozat

Egy sorozat divergens, ha nem határozható meg egy konkrét érték, mely felé a sorozat tagjai tartanak. Más megfogalmazásban, egy sorozat divergens, ha nem konvergens. Ekkor ha a sorozat bármely tagja körül meghatározunk egy körzetet (egy tetszőleges számot - küszöbindexet -, amivel legfeljebb el lehet térni tőle), akkor azt vehetjük észre, hogy a sorozat tagjai elvándorolnak ettől, esetleg bolyonganak (oszcillálnak) benne.

Matematikai definíciója

Metrikus terekben

$(K,d)$ metrikus tér

$a_{n}\in K,n\in \mathbb {N}$ mely szerint $a\$ tehát $K\$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\forall {\alpha \in K}\ \exists {\epsilon >0}\ \forall n_{0}\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} :(n>n_{0}\ \land d\left(a_{n},\alpha \right)>\epsilon )$

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Számtestekben

$K$ számtest

$a_{n}\in K,n\in \mathbb {N}$ mely szerint $a\$ tehát $K\$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\forall {\alpha \in K}\ \exists {\epsilon >0}\ \forall n_{0}\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} :(n>n_{0}\ \land \mid a_{n}-\alpha \mid >\epsilon )$

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Megjegyzés: minden K számtest metrikus tér a $d(a,b)\ :=\ \mid a-b\mid$ metrikával, ahol az |a-b| függvény az a,b elemek különbségének abszolútértéke; azaz |x| := {z∈K | (z=x ∨ z=-x) ∧ z>0 }.

Példák

${n\in \mathbb {N} },{a_{n}\in \mathbb {R} }$

$a_{n}={(-1)^{n}\ }$

ennek a sorozatnak minden páros eleme 1, minden páratlan eleme -1

$a_{n}=n\$

ennek a sorozatnak nincs határértéke $\mathbb {R} \$-ben.

Megjegyzések, tételek

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Valós számsorozat lényegében kétféleképpen lehet nem konvergens. Vagy azért divergens, mert nem egy, hanem több érték körül csoportosul a sorozat elemei (például az $a_{n}=(-1)^{n}$ sorozat az 1 és a −1 értékeket is végtelen sokszor felveszi), az ilyen tipusú sorozatra azt mondjuk, hogy oszcillálva divergál. A másik lehetőség, mikor a sorozat elemei minden határon túl nőnek, tehát nem korlátos a sorozat. Ha egy a_n sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan n₀ küszöbszám, hogyha n > n₀ akkor a_n > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Ha a kibővített valós számok felett tekintünk erre a sorozatra, akkor a plusz végtelenbe konvergál kifejezést is használhatjuk. Például

$\lim _{n\to \infty }n^{2}=+\infty$

A mínusz végtelenbe divergálást (konvergálást) hasonlóan értelmezzük.

Források

• Analízis lépésről-lépésre - Konvergens, divergens sorozatok. Dr. Stettner Eleonóra, Kaposvári Egyetem (2014)
• Sorozatok - Farkas István, DEATC GazdaságelemzésiésStatisztikaiTanszék