A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Fresnel-integrál ok az
x
→
C
(
x
)
{\displaystyle x\to C(x)}
x
→
S
(
x
)
{\displaystyle x\to S(x)}
transzcendens valós-valós függvények , ahol
C
(
x
)
=
∫
0
x
cos
(
u
2
)
d
u
,
S
(
x
)
=
∫
0
x
sin
(
u
2
)
d
u
.
{\displaystyle C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(u^{2})\,du,\quad S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(u^{2})\,du.}
C
(
x
)
{\displaystyle C(x)}
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
y
=
cos
(
x
2
)
{\displaystyle y=\cos(x^{2})}
y
=
sin
(
x
2
)
{\displaystyle y=\sin(x^{2})}
területfüggvénye (x=0 kezdő abszcisszától).
A Fresnel-integrál ok nem írhatók fel elemi függvényekkel zárt analitikus alakban. A helyettesítési érték kiszámítására a következő, minden
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
hatványsorok alkalmasak:
S
(
x
)
=
x
3
3
⋅
1
!
−
x
7
7
⋅
3
!
+
x
1
1
11
⋅
5
!
∓
⋯
+
(
−
1
)
n
x
4
n
+
3
(
4
n
+
3
)
(
2
n
+
1
)
!
,
{\displaystyle S(x)={\frac {x^{3}}{3\cdot 1!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 3!}}+{\frac {x^{1}1}{11\cdot 5!}}\mp \dots +(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},}
C
(
x
)
=
x
1
⋅
0
!
−
x
5
7
⋅
2
!
+
x
9
9
⋅
4
!
∓
⋯
+
(
−
1
)
n
x
4
n
+
1
(
4
n
+
1
)
(
2
n
)
!
.
{\displaystyle C(x)={\frac {x}{1\cdot 0!}}-{\frac {x^{5}}{7\cdot 2!}}+{\frac {x^{9}}{9\cdot 4!}}\mp \dots +(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.}
A függvények csökkenő amplitúdóval és hullámhosszal oszcillálnak a
+
∞
{\displaystyle +\infty }
határértékük körül (nem periodikusak!):
∫
0
∞
cos
u
2
d
u
=
∫
0
∞
sin
u
2
d
u
=
π
8
.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\cos u^{2}\,du=\int \limits _{0}^{\infty }\sin u^{2}\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}
A függvénygörbék egy transzponált alakja az elméleti vizsgálatokban használt normalizált
S
o
(
x
)
=
∫
0
x
sin
(
π
u
2
2
)
d
u
,
C
o
(
x
)
=
∫
0
x
cos
(
π
u
2
2
)
d
u
,
{\displaystyle S_{o}(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin({\frac {\pi u}{2}}^{2})\,du,\quad C_{o}(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos({\frac {\pi u}{2}}^{2})\,du,}
melyek a
lim
x
→
+
∞
C
o
(
x
)
=
lim
x
→
+
∞
S
o
(
x
)
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }C_{o}(x)=\lim _{x\to +\infty }S_{o}(x)={\frac {1}{2}}\,~~}
Normalizált Fresnel-integrálok, So (x )Co (x ) A függvényeket Augustin-Jean Fresnel (1788-1827) francia fizikus alkalmazta a fényinterferencia vizsgálatok matematikai elemzésénél. E vizsgálatok a fénynek Christiaan Huygens (1629-1695) holland fizikus által kidolgozott hullámtermészetét igazolták. Vele egy időben és tőle függetlenül hasonló sikeres kísérleteket végzett Thomas Young (1773-1829) angol orvos.
Az út-/vasútépítésben fontos átmeneti ív, a klotoid (Cornu-spirál, Euler-spirál) paraméteres egyenletrendszerét a két Fresnel-integrál megfelelő transzformációjával lehet megadni:
{
x
(
t
)
=
k
⋅
C
(
t
)
y
(
t
)
=
k
⋅
S
(
t
)
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)=k\cdot C(t)\\y(t)=k\cdot S(t)\end{cases}}}
Reinhardt–Soeder: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
Bronstein–Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
Pattantyús: Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961. 
.gif)
.svg)
