Forgómozgás

A szimmetriatengelye körül forgó gömb

A forgás olyan mozgás, amikor a test minden pontja egy körpályán mozog a testhez rögzített egyenes körül, amelyet a test forgástengelyének nevezünk. Ha tér helyett csak síkban vagyunk, akkor egy pont körül történik a forgás, ezt hívjuk a forgás középpontjának.

Leírása

A forgás sebességét a szögsebesség (mértékegysége: rad/s) segítségével adhatjuk meg. Az egységnyi ismétlődést a frekvencia (mértékegysége: 1 (ismétlődés)/s, 1 (ismétlődés)/min) vagy a periódusidő (mértékegysége: másodperc, nap…) jellemzi. A periódusidő megmutatja, hogy mennyi idő alatt játszódik le egy mozgásszakasz ismétlődése. Nemzetközileg a nagy T a jele. A frekvencia a periódusidő reciproka: azt a mennyiséget, amely megmutatja az egységnyi idő alatt bekövetkező ismétlődő mozgásszakaszok számát, frekvenciának nevezzük. Jele a kis f.

A szögsebesség vektor magába foglalja a forgástengely és a forgás irányát is a forgás nagysága mellett. A jobbkéz-szabály szerint az óramutató járásával ellenkező forgáshoz a megfigyelő felé mutató vektort rendelünk, az ellentétes forgáshoz pedig ellentéteset.

A szögsebesség változási gyorsasága a szöggyorsulás (2π/s²), amely forgatónyomaték hatására jön létre. A kettő hányadosát – azt, hogy milyen nehéz elindítani, megállítani vagy másképpen megváltoztatni a forgást – a tehetetlenségi nyomaték jellemzi (mértékegysége: m²kg). Jele a θ.

Merev test forgásegyenlete

Merev test rögzített tengely körüli forgásánál az impulzusnyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzata (perdülettétel), ezért a perdület időbeli deriváltja a következő alakban is felírható:

$M={\frac {dN}{dt}}={\frac {d(\theta \cdot \omega )}{dt}}=\theta {\frac {d\omega }{dt}}=\theta \cdot \beta$

ahol $\beta$ a test forgásához tartozó szöggyorsulás. Ezt forgásegyenletnek is szokás nevezni.

Ha a forgatónyomaték állandó, akkor a szöggyorsulás is állandó:

${d^{2}\varphi \over dt^{2}}={\frac {M}{\theta }}\equiv \beta =const.$

Az ilyen mozgást gyorsuló forgásnak nevezzük. Ha t=0 időpillanatban a szögsebesség is és a szög is zérus, akkor a szögelfordulás függvénye:

$\varphi ={\frac {1}{2}}\beta t^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {M}{\theta }}t^{2}$

Ha a forgatónyomatékok eredője zérus, akkor a szöggyorsulás is zérus, azaz a merev test állandó szögsebességgel forog:$M=0\rightarrow \beta ={\frac {d\omega }{dt}}=0\rightarrow \omega =\mathrm {const.}$$\varphi =\omega t$

Forgó merev test kinetikai energiája

$E_{kin}={\frac {1}{2}}\theta \omega ^{2}$

Ezt a mennyiséget forgási energiának nevezzük.

A tehetetlenségi nyomaték

A rögzített tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

$\theta =\int \limits _{V}\rho l^{2}dV=\sum _{i}m_{i}l_{i}^{2}$

Néhány jellegzetesebb alakú homogén test tehetetlenségi nyomatéka

Test	Tengely	$\theta$
Körhenger	szimmetriatengely	${\frac {1}{2}}mR^{2}$
	erre merőleges tengely	${\frac {1}{4}}mR^{2}+{\frac {1}{12}}mh^{2}$
Üres körhenger	szimmetriatengely	${\frac {1}{2}}m(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})$
Derékszögű egyenes hasáb	éllel párhuzamos tengely	${\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})$
Kocka	súlyponttengely	${\frac {1}{6}}ma^{2}$
Gömb	súlyponttengely	${\frac {2}{5}}mR^{2}$
Gömbhéj	súlyponttengely	${\frac {2}{3}}mR^{2}$
Ellipszoid	c tengely	${\frac {1}{5}}m(a^{2}+b^{2})$
Egyenes körkúp	szimmetriatengely	${\frac {3}{10}}mR^{2}$

Megfeleltetés a haladó és forgó mozgások között

	haladó		forgó
út	$x$	koordináta	$\varphi$	szögelfordulás
sebesség	$v={dx \over dt}$		$\omega ={d\varphi \over dt}$	szögsebesség
gyorsulás	$a={dv \over dt}={d^{2}x \over dt^{2}}$		$\beta ={d\omega \over dt}={d^{2}\varphi \over dt^{2}}$	szöggyorsulás
tömeg	$m$		$\theta =\sum _{i}m_{i}l_{i}^{2}$	tehetetlenségi nyomaték
erő	$F$		$M$	forgatónyomaték
	$m{d^{2}x \over dt^{2}}=F$	mozgásegyenlet	$\theta {d^{2}\varphi \over dt^{2}}=M$
impulzus	$p=mv$		$N=\theta \omega$	impulzusnyomaték
impulzustétel	${dp \over dt}=F$		${dN \over dt}=M$	impulzusmomentum-tétel
erőlökés	$\int \limits _{0}^{\tau }Fdt$		$\int \limits _{0}^{\tau }Mdt$	forgólökés
	$\Delta W=F\Delta x$	elemi munka	$\Delta W=M\Delta \varphi$
	$P=Fv$	teljesítmény	$P=M\omega$
	$E_{kin}={\frac {1}{2}}mv^{2}$	kinetikai energia	$E_{kin}={\frac {1}{2}}\theta \omega ^{2}$
lineáris erőtörvény	$F=-Dx$		$M=-D^{*}\varphi$	lineáris forgatónyomaték-törvény
	$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}$	lengésidő	$T=2\pi {\sqrt {{\frac {\theta }{D}}*}}$

Csillagászat

A csillagászat területén a forgás gyakori mozgásforma. A csillagok, a bolygók és hasonló égitestek forognak a saját tengelyük körül. A forgó rendszerből nézve ez centrifugális gyorsulást okoz, amely némileg módosítja a gravitáció hatását; mennél közelebb vagyunk az egyenlítőhöz és mennél gyorsabb a forgás, annál jobban. Ennek egyik következménye, hogy az egyenlítőn lévő testek súlya kisebb (kevésbé nyomják az alátámasztást), mintha nem forogna az égitest, a másik, hogy a nagyobb forgó égitestek nem szabályos gömb alakot vesznek fel, hanem lapultat.

Egy másik következménye a forgásnak a precesszió. Ahogy a pörgettyű esetén is, ha rá külső erőhatás (pontosabban forgatónyomaték) hat, akkor a pörgettyű tengelye egy kúpfelületet ír le. Ilyen hatással a Földre elsősorban a Nap és a Hold van.