Felszín

Felszínnek nevezzük a testek egyik jellemzőjét. Hétköznapi értelemben a test határfelületeinek összes területét értjük alatta, ilyen módon a soklapok (poliéderek) testhálójával áll szoros kapcsolatban. Sok természeti folyamat is a megfelelő testek felszínével áll kapcsolatban.

Definíció

A felszín definíciója több irányból is megközelíthető, ezek azonban ugyanarra az eredményre kell vezessenek. Matematikai értelemben a felszínt valójában függvénynek kell tekinteni,^{[* 1]} mivel az egyes testekhez számértéket egyértelműen rendel.

Elemi meghatározás

Ha a testről a határait "leválasztjuk", és azt síkidomba terítjük, az így kapott ponthalmaz területét nevezzük a test felszínének. Ez az eljárás poliéderek és egyes görbe felületű testek esetén működőképes, azonban sok test felszínének meghatározására kevéssé alkalmas.^{[* 2]}

A meghatározás előnye, hogy rendkívül szemléletes, és megfelel a technikai alkalmazásoknak. Hátránya éppen a fent említett korlátozottság.

Geometriai megközelítés

Poliéderek esetén a határoló síklapok területének összegét értjük a test felszíne alatt. Ez megfelel a testháló, mint síkidom területének.
Ha a test síkba fejthető (van testhálója), akkor a megfelelő síkidom területét értjük felszín alatt.
Egyéb esetekben a testet belülről és kívülről burkoló poliédersereg felszínének határértékét tekintjük a test felszínének, amennyiben a kettő létezik és megegyezik.^{[* 3]}

Utóbbi esetet a gömb felszínének meghatározásakor szokás legjellemzőbben alkalmazni.

Analitikus értelmezés

A felszín naiv fogalmából az analízis segítségével igen precíz definíció alkotható meg. Testnek tekintjük az Rⁿ-beli zárt, egyszeresen összefüggő halmazt. Ennek határpontjai alkotják a test felszínét, mint halmazt, és a halmaz mértékét nevezzük a test felszínének. Ez alapján a test felszíne általában integrálással határozható meg.

Kiszámítása

Egyszerű testek

Egyszerű testeknek tekintjük a poliédereket és a egyenes szakaszokból származtatható forgástesteket, valamint a gömböt. Ezek esetében könnyen kezelhető, megjegyezhető képletek állnak rendelkezésre a felszín meghatározásához.

Az egyszerű testekből, azok összeillesztésével, néhány további testnek is számítható a felszíne.

Általános számítás

Ha a testet az F(x,y,z) függvény írja le, akkor a felszínét az F(x,y,z)=0 egyenlet, amit átrendezve a z(x,y)=0 egyenletet kapjuk. Ennek integrálja lesz a felszín:

S=\int z(x,y)\mathop {{\text{d}}x} \mathop {{\text{d}}y}

az általános képlet és

S=\int \limits _{y_{0}}^{y_{1}}\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}z(x,y)\mathop {{\text{d}}x} \mathop {{\text{d}}y}

a konkrét érték.

Az integrál ilyen formában történő kiszámítása sok esetben nehezen kivitelezhető, ilyenkor érdemes a változókat megfelelő módon paraméterezni.

Speciálisan a forgástestek felszíne egyszerűbben is számolható, feltéve, hogy a tengelyüket a koordináta-rendszer x-tengelye alkotja. Ekkor ugyanis az $y(x)$ függvény ívhosszát kell tudnunk kiszámolni, mivel ennek forgatása jelenti a test felszínét.^{[* 4]} Ekkor a felszínt az alábbi integrál írja le:

2\pi \int \limits _{y_{0}}^{y_{1}}1+\left(y'\right)^{2}\mathop {{\text{d}}x}

Néhány test felszíne

Test	Jellemző paraméter(ek)	Felszín meghatározása
Kocka	e élhossz	$S = 6e 2$
Téglatest	w szélesség l hosszúság h magasság	$S =2(wh+hl+lw)$
Henger	r sugár h magasság	$S =2π r (r + h)$
Egyenes körkúp	c alkotó r alapkör sugara	$S =π r (r + c)$
Gömb	r sugár	$S =4π r 2$

Mértékegység

A felszín az SI mértékegységrendszerben a hosszúságból leszármaztatott mennyiség, dimenziója hosszúság²: dim(S)=L². Ennek megfelelően a mértékegysége [S]=m².

A kisebb és nagyobb egységek esetén a szülő dimenzió átváltási arányának négyzete az átváltási arány, hogy ez a matematikai eszközök használata közben ne okozzon problémát. A váltási arányok SI esetén:

	km²	m²	cm²	mm²
km²=	1	1 000 000	10 000 000 000	1 000 000 000 000
m²=	0,000001	1	10 000	1 000 000
cm²=	0,0000000001	0,0001	1	100
mm²=	0,000000000001	0,000001	0,01	1

Megjegyzések

↑ Nagyon precízen fogalmazva funkcionál.
↑ Egészen pontosan a síkkal azonosítható felületek esetén az eljárás kivitelezhető.
↑ Ez egyben átvezet az analízis tárgykörébe is.
↑ Esetlegesen a záró körlapokat is hozzá kell vennünk, de ez mindössze technikai jellegű probléma

Források

Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó vállalat (1979). ISBN 963-17-4467-1
I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, D. Musiol, H. Mühlig. Matematikai kézikönyv. Typotex (2000). ISBN 963-913-259-4

További információ

[1] Nagyon precízen fogalmazva funkcionál.

[2] Egészen pontosan a síkkal azonosítható felületek esetén az eljárás kivitelezhető.

[3] Ez egyben átvezet az analízis tárgykörébe is.

[4] Esetlegesen a záró körlapokat is hozzá kell vennünk, de ez mindössze technikai jellegű probléma

[* 1]

[* 2]

[* 3]

[* 4]