Erdős–Anning-tétel

Az Erdős–Anning-tétel kimondja, hogy ha egy síkon található végtelen sok pont között páronként egész szám távolság van, akkor azok a pontok egy egyenes mentén fekszenek (kollineárisak). A tételt Erdős Pálról és Norman H. Anningról nevezték el, aki a bizonyítást 1945-ben publikálta.

Bizonyítás

Az Erdős–Anning-tétel bizonyításához hasznos, ha szigorúbban fogalmazzuk meg, konkrét határt megállapítva az egész távolságú pontok számára nézve, a pontok közötti maximális távolság függvényében. Specifikusabban, ha három vagy több, nem kollineáris pont egymástól az egész szám $\delta$ távolságra fekszik, akkor legfeljebb $4(\delta +1)^{2}$ egész távolságú pont adható hozzá a halmazhoz.

Hogy ezt beláthassuk, tekintsük az A, B és C nem kollineáris elemeit az S egész távolságú ponthalmaznak, melyek távolsága legfeljebb $\delta$! Legyen továbbá $d(A,B)$, $d(A,C)$ és $d(B,C)$ a három pont közötti távolságok. Legyen X az S halmaz bármely más pontja. A háromszög-egyenlőtlenségből következik, hogy $|d(A,X)-d(B,X)|$ nemnegatív egész szám, értéke legfeljebb $\delta$. Minden egyes $\delta +1$ egész értékre ezen a területen a $|d(A,X)-d(B,X)|=\delta +1$ egyenlet megoldásai olyan hiperbolát alkotnak, aminek A és B a fókuszpontjai, és X-nek az egyik ilyen $\delta +1$ hiperbolán kell helyet foglalnia. Hasonlóan gondolkozva, X-nek ugyancsak rajta kell lennie a B és C fókuszpontú $\delta +1$ hiperbolák valamelyikén. Minden egyes hiperbolapárnak, tehát az A és B pontok által, valamint a B és C pontok által meghatározottaknak, legfeljebb négy metszéspontja lehet, és S minden pontjának (beleértve az A, B és C pontokat is) az egyik ilyen metszésponton kell feküdnie. Mivel a hiperbolapároknak legfeljebb $4(\delta +1)^{2}$ metszéspontjuk lehet, így S legfeljebb $4(\delta +1)^{2}$ pontot tartalmazhat.

Maximális, egész távolságú ponthalmazok

A tétel más megfogalmazási módja az lehet, hogy egész távolságú nem kollineáris pontok halmaza a síkon csak véges sok további egész távolságú ponttal egészíthető ki, míg nem lehet már új pontot hozzáadni. Az egész koordinátájú és egész távolságú olyan ponthalmazokat a síkban, melyekhez már nem lehet további ilyen tulajdonságú pontokat adni, Erdős-féle diofantoszi gráfnak nevezzük.

Racionális számok vs. egész számok

A matematika megoldatlan problémája: Létezik-e az euklideszi síknak olyan sűrű részhalmaza, melynek pontjai racionális távolságokra helyezkednek el egymástól? (A matematika további megoldatlan problémái)

Még ha nem is létezik olyan, nem kollineáris végtelen ponthalmaz, ahol a pontok távolsága páronként egész számokat ad, találhatunk olyat, ahol a távolságok racionális számok. Például nevezzük S-nek az egységkör azon pontjainak halmazát, $(\cos \theta ,\sin \theta )$ melyekre $\tan {\frac {\theta }{4}}$ racionális. Minden ilyen pontra $\sin {\frac {\theta }{2}}$ és $\cos {\frac {\theta }{2}}$ is racionálisak, és ha $\theta$ és $\phi$ két pontot határoznak meg S-ben, akkor távolságuk a következő racionális szám: $|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\phi }{2}}-2\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}|$. Általánosabban, egy $\rho$ sugarú kör pontosan akkor tartalmazza egymástól racionális távolságú pontok sűrű részhalmazát, ha $\rho ^{2}$ racionális szám.

Bármilyen véges S, egymástól racionális távolságra lévő pontokat tartalmazó halmazra található vele hasonló, egész távolságra lévő ponthalmaz, ha az S-et nagyítjuk a benne lévő távolságok legkisebb közös nevezőjével. Ebből következik, hogy tetszőlegesen nagy, egymástól egész távolságra lévő ponthalmazok előállíthatók. Mivel azonban az S elemszámának növelése a nagyítási faktort növelheti, ez a konstrukciós módszer nem engedi meg, hogy végtelen elemszámú racionális távolságú ponthalmazt végtelen elemszámú egész távolságú ponthalmazzá alakítsunk át.

Nem ismeretes, hogy létezik-e olyan, egymástól racionális távolságra lévő pontokat tartalmazó halmaz, ami az euklideszi sík sűrű részhalmazát alkotja.

További információk

• Weisstein, Eric W.: Erdos-Anning Theorem (angol nyelven). Wolfram MathWorld