Dirichlet-féle magfüggvény

A Dirichlet-féle magfüggvény a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet által vizsgált függvénysorozatok egyike. Az analízisben, közelebbről a Fourier-sorok elméletében alkalmazzák.

Dirichlet 1829-ben bizonyította egy periodikus, szakaszonként folytonos és szakaszonként monoton függvény Fourier-sorának konvergenciáját. Ezt a témát még Leonhard Euler vetette fel, és Dirichlet bizonyítása volt az első.

A Dirichlet által talált sorozat fontos szerephez jut ebben a bizonyításban, ahol magfüggvényként szerepel. Ezért nevezik Dirichlet-féle magfüggvénynek.

Definíció

Dirichlet-féle magfüggvénynek nevezik a

$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$

függvénysorozatot.

Jelentése összefügg a Fourier-sorokkal. A Fourier-sor n-edik közelítő tagja a D_n(x) és az f 2π szerint periodikus függvény konvolúciója.

Példa:

$(D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},$

ahol

${\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$

f k-adik Fourier-együtthatója.

Ebből következik, hogy a Fourier-sorok konvergenciájának vizsgálatához elegendő a Dirichlet-féle magfüggvény tulajdonságait tanulmányozni. D_n L¹-normája logaritmikusan tart $\infty$-be, ha $n\to \infty$, így vannak folytonos függvények, amik nem állíthatók elő Fourier-sorokkal. Ugyanis

$\int |D_{n}(t)|\,dt={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log n+{\mathcal {O}}(1)$

ahol ${\mathcal {O}}$ a Landau-féle ordo jelölés.

Kapcsolat a delta-disztribúcióval

A periodikus delta-disztribúció egységelem a 2π szerint periodikus függvények konvolúciócsoportjában:

$f*(2\pi \delta )=f\,$

minden 2π szerint periodikus f függvényre.

A Fourier-sort a következő „függvény” reprezentálja:

$2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).$

A trigonometrikus azonosság bizonyítása

Adott $2\pi$ szerint periodikus $f(x)$ függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor

$s_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx\right)$

részletösszegeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk $s_{n}(x)$-et:

$s_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,dt+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{n}\left[\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos kt\,dt\cdot \cos kx+\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin kt\,dt\cdot \sin kx\right]=$

$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos kt\cdot \cos kx+\sin kt\cdot \sin kx\right)\right]\,dt=$

$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos k\left(x-t\right)\right]\,dt={\frac {1}{\pi }}\int _{x-\pi }^{x+\pi }f(x-y)D_{n}(y)\,dy=$

$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{n}(t)\,dt$,

ahol

$D_{n}(t)={\frac {1}{2}}+\cos \ t+\cos \ 2t+\cdots +cos\ nt$

az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.

Mivel

$D_{n}(t)\cdot \sin {\frac {t}{2}}={\frac {1}{2}}\left\{\sin {\frac {t}{2}}+\left[\sin \left(1+{\frac {1}{2}}\right)t-\sin \left(1-{\frac {1}{2}}\right)t\right]+\cdots +\left[\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t-\sin \left(n-{\frac {1}{2}}\right)t\right]\right\}={\frac {1}{2}}\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t$,

ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

$D_{n}(t)={\frac {\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t}{2\sin {\frac {1}{2}}\ t}}$

A $D_{n}(t)$ függvény nyilván páros, és így

$D_{n}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{n}(t)\,dt={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[f(x-t)+f(x+t)\right]\ D_{n}(t)\,dt.$

A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:

$\int _{0}^{\pi }D_{n}(t)\,dt={\frac {\pi }{2}}$

Az előző 2 egyenlőség alapján:

$s_{n}(x)-c={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[f(x-t)+f(x+t)-2c\right]D_{n}(t)\,dt;$

speciálisan:

$s_{n}(x)-f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\varphi _{x}(t)\ D_{n}(t)\,dt,$

ahol

$\varphi _{x}(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x).$

A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha $\delta \leq \pi$ tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor

$\int _{\delta }^{\pi }D_{n}(t)\,dt\rightarrow 0$, $(n\rightarrow \infty ).$

Források

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. kiadás, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 (teljes verzió (Google Books))