Differenciálgép

A differenciálgép (difference engine) olyan mechanikus számológép, amely képes polinomfüggvények táblázatait kiszámolni. Mivel számos bonyolultabb függvény, többek között a logaritmus és a trigonometrikus függvények is közelíthetőek hatványsorral, egy ilyen gép sokoldalú számításokra képes.

Története

Az első ilyen tervet Johann Müller készítette 1786-ban, de nem építette meg a gépet. Az ötlet feledésbe merült, és Charles Babbage fedezte fel újra 1822-ben, a Royal Astronomical Society-hez írt „Note on the application of machinery to the computation of very big mathematical tables.” („a nagyon nagy matematikai táblázatok gép általi kiszámításáról”) című cikkében. A gép tízes számrendszert használt, és egy kar tekerésével lehetett működtetni. Babbage az angol kormány anyagi támogatásával elkezdte építeni a gépet, de hamarosan áttért egy sokkal általánosabb analitikus gép tervezésére. Később, 1847–49 között elkészítette egy fejlettebbb differenciálgép, a „Difference Engine No. 2” terveit. Ezekre alapozva 1855 után Per Georg Scheutz, majd Martin Wiberg épített differenciálgépet.

1991-re, Babbage születésének kétszázadik évfordulójára a londoni Science Museum Babbage tervei alapján elkészítette a Difference Engine No. 2 korhű mását, korabeli gyártási technológia felhasználásával. 2000-ben rekonstruálták a Babbage által a géphez tervezett nyomtatót is. Néhány apróbb hibát ki kellett javítaniuk Babbage terveiben, de ezután a gépek tökéletesen működtek, és működnek ma is. Ezzel eldőlt a hosszú ideje tartó vita, hogy lehetséges lett volna-e Babbage tervei alapján működőképes gépet készíteni a korabeli technológiával elérhető pontosság mellett.

Működése

Közelkép a Science Museum-beli gép oszlopairól

A differenciálgép egy sor oszlopból áll, minden oszlop egy tízes számrendszerbeli számot tud tárolni. A gép egyetlen műveletre képes, egy oszlop értékének az előző oszlopéhoz való hozzáadására. Az utolsó oszlop csak egy konstanst tud tárolni, az első oszlop jelzi (vagy nyomtatja) ki az eredményt.

A gép programozása az egyes oszlopok kezdeti értékeinek beállításából áll. Az első oszlopba a polinom egy adott helyen felvett értéket kellett állítani, a továbbiakban a deriváltak értékeit. Ezután a gépet meghajtva az oszlopok forogni kezdenek, és az oszlopok értéke négy fázisban (egy a páratlan, egy a páros oszlopoknak, azon belül pedig egy az összeadásnak, egy az átvitelnek) hozzáadódnak az előttük lévőhöz.

Matematikai háttér

Mivel a gép nem tud szorozni, nem képes kiszámolni egy polinom értékét. Ha azonban egy adott érték (a deriváltakkal együtt) már rendelkezésre áll, a Newton-módszer alkalmazásával közelítően ki tudja számolni a függvény értékét más helyeken: ha a táblázatot $h$ beosztással kell elkészíteni, legyen

\Delta _{h}f(a)=f(a+h)-f(a)\,

,

ekkor

f(a+h)=f(a)+\Delta _{h}f(a)\,

.

$\Delta _{h}f\,$ -re is alkalmazhatjuk ugyanezt az eljárást:

\Delta _{h}^{2}f(a)=\Delta _{h}f(a+h)-\Delta _{h}f(a)=[f(a+2h)-f(a+h)]-[f(a+h)-f(a)]

,

és

\Delta _{h}f(a+h)=\Delta _{h}f(a)+\Delta _{h}^{2}f(a)

,

amiből

f(a+2h)=f(a)+\Delta _{h}f(a)+\Delta _{h}f(a+h)=f(a)+\Delta _{h}f(a)+(\Delta _{h}f(a)+\Delta _{h}^{2}f(a))

.

A különbségeket $f$ -nek $n$ különböző értéke alapján $n$ szintig kiszámolva $\Delta _{h}^{n}$ -t vehetjük a-tól független konstansnak, és így közelíthetjük $f(a+kh)$ értékét tetszőleges $k$ -ra; a differenciálgép éppen ezt teszi, az $i$ -edik tengelyt $\Delta _{h}^{i}$ -nek megfeleltetve. (Mai fogalmakkal azt mondhatjuk, hogy a gép Taylor-sorának első $n$ tagjával közelíti a függvényt.)

Példa

Vegyük a $p(x)=2x^{2}-3x+2$ másodfokú polinomot. A $p(0)$ , $p(1)$ , $p(2)$ értékeket kézzel kiszámítva, majd ezekből a differenciákat és azokból a további függvényértékeket kifejezve az alábbi eredményt kapjuk:

$p(0)=2.0$ *
	$\Delta p(0)=1.72-2.0=-0.28$ **
$p(0.1)=1.72$ *		$\Delta ^{2}p(0)=0.24-0.28=0.04$ **
	$\Delta p(0.1)=1.48-1.72=-0.24$ **
$p(0.2)=1.48$ *		$0.04$ *******
	$-0.24+0.04=-0.20$ ********
$p(0.3)=1.48-0.20=1.28$ ********		$0.04$ *******
	$-0.20+0.04=-0.16$ ********
$p(0.4)=1.28-0.16=1.12$ ********