Dedekind-féle pszi-függvény

A számelméletben a Dedekind-féle pszi-függvény egy pozitív egészeken értelmezett multiplikatív függvény. Értéke

$\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),$

ahol a szorzat az n hely prímosztóit futja be. A ψ(1) üres szorzat, értéke 1. Richard Dedekind vezette be a moduláris függvényekhez kapcsolódóan.

A ψ(n) értékei az első néhány helyen:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24... (A001615 sorozat az OEIS-ben).

Ha n egynél nagyobb, akkor ψ(n) > n, és minden n > 2 esetén páros. Ha n négyzetmentes szám, akkor ψ(n) = σ(n).

A ψ függvény definiálható úgy is, mint ψ(pⁿ) = (p+1)p^n-1, minden p prímre, és a többi helyre a multiplikatív tulajdonsággal kiterjeszthető. Ebből levezethető a generátorfüggvény kapcsolata a Riemann-féle zéta-függvénnyel:

$\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.$

Ez abból is következik, hogy $\psi =\mathrm {Id} *|\mu |$, ahol * a Dirichlet-konvolúció.

Általánosítás

Magasabb rendekre is definiálható a Jordan-függvény felhasználásával:

$\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}$

vagy Dirichlet-sorral:

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}$.

Kifejezhető, mint egy hatványfüggvény és a Möbius-függvény négyzetének Dirichlet-konvolúciója:

$\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)$.

Jelölje a

$\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots$

a négyzetszámok karakterisztikus függvényét. Ekkor egy másik Dirichlet-konvolúcióval az osztóösszeg-függvény általánosításai is kifejezhetők:

$\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)$.

Források

• Goro Shimura. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton (1971)  (page 25, equation (1))
• Carella, N. A. (2010). "Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions". arXiv:1012.4817. {{cite arXiv}}: Cite has empty unknown parameter: |1= (help)
• Mathar, Richard J. (2011). "Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions". arXiv:1106.4038. {{cite arXiv}}: Cite has empty unknown parameter: |1= (help) Section 3.13.2
•  A065958 a ψ₂,  A065959 a ψ₃, és  A065960 a ψ₄

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dedekind psi function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.