Braket-jelölés

A braket-jelölés a kvantumállapotok bevett jelölése a kvantummechanikában. Kompakt jelölés, ahol a $|\psi \rangle$ ket (vektor) egy állapotvektort (oszlopvektort), a $\langle \phi |$ bra (vektor) pedig egy transzponált konjugált állapotvektort (sorvektort) jelöl. A nevét a jelölés az angol „bracket” („zárójel”) szóról kapta, ahol a „bra” és „ket” betűcsoportok úgy zárják közbe a „c” betűt, mint a bra és ket vektorok egy C operátort. Az állapotvektorok belső szorzata $\langle \phi |\psi \rangle$ alakban írandó. A jelölést Paul Dirac vezette be, és Dirac-jelölésként is ismert. A matematika és a kvantumszámítás is használja.

Bra és ket

A kvantummechanikában egy fizikai rendszert egy komplex H Hilbert-tér vektorával azonosítjuk. Mindegyik vektort „ket”-nek, vagy „ket vektornak” hívjuk és így írjuk:

$|\psi \rangle$

Minden ket vektornak van egy „bra” duálisa:

$\langle \psi |$

Ez egy folytonos lineáris funkcionál H-ból C-be (komplex számok), amit a következő kifejezés definiál:

$\langle \psi |\rho \rangle ={\bigg (}|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle {\bigg )}$ minden $|\rho \rangle$ ket-re

ahol ( , ) a Hilbert-tér belső szorzata. A bra egyszerűen a ket transzponált konjugáltja (vagy hermitikus konjugáltja). A jelölést a Riesz-féle reprezentációtétel igazolja, ami kijelenti, hogy a Hilbert-tér és duális tere izometrikusan izomorf. Így minden bra pontosan egy ket-nek felel meg és megfordítva. Ez nem mindig van így, csak addig, amíg a definiáló függvények négyzetesen integrálhatók (ld. például Cohen-Tannoudji). Tekintsünk egy kontinuum számosságú bázist és egy Dirac-féle delta-függvényt, vagy egy szinusz- vagy koszinuszfüggvényt mint hullámfüggvényt. Az ilyen függvények nem négyzetesen integrálhatók, ezért az adódik, hogy vannak olyan bra-k, amiknek nincs megfelelő ket-jük. Ez nem futtatja zátonyra kvantummechanikát, mert minden fizikailag realisztikus hullámfüggvény négyzetesen integrálható.

A braket-jelölés akkor is használható, ha a vektortér nem Hilbert-tér. Bármely B Banach-térben a vektorok jelölhetők kettel és a folytonos lineáris funkcionálok braval. Bármely nemtopologikus vektortér vektorait is jelölhetjük kettel és a lineáris funkcionálokat bra-val. Ebben az általános esetben a braketnek nincs belső szorzat jelentése, mivel a Riesz-féle reprezentációtétel nem alkalmazható.

A $\langle \phi |$ bra és a $|\psi \rangle$ ket szorzata, amit bra-ket-nek hívhatunk:

$\langle \phi |\psi \rangle$.

egy komplex szám. A kvantummechanikában ez annak a valószínűségi amplitúdója, hogy a $\psi \!$ állapot a $\phi .\!$ állapotba essen a mérés során.

Tulajdonságok

Mivel minden ket egy vektor egy komplex Hilbert-térben és minden bra-ket egy belső szorzat, a következő műveletek lehetségesek:

$\langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle$

${\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle$

$c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$ duálisa $c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|$

$\langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}$

ahol $c_{1},c_{2}\,$ komplex számok.

Lineáris operátorok

Ha A : H → H lineáris operátor, akkor A-t egy $|\psi \rangle$ ket-re alkalmazva a $(A|\psi \rangle )$ ket-et kapjuk. A lineáris operátorok mindenütt jelen vannak a kvantummechanikában, például a fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok, a szimmetriatranszformációkat unitér operátorok képviselik.

Az operátorokat tekinthetjük úgy is, mint ami jobbról a bra-ra hat. A $(\langle \phi |A)$ konstrukció egy bra, ami egy lineáris funkcionál H-n a következő szabály szerint:

${\bigg (}\langle \phi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )}$.

Ezt a kifejezést szokásosan így írjuk:

$\langle \phi |A|\psi \rangle .$

H-n komponálhatunk operátort a külső szorzattal:

$|\phi \rangle \langle \psi |$

ami a $|\rho \rangle$ ket-et leképezi a $|\phi \rangle \langle \psi |\rho \rangle$ ket-re (ahol $\langle \psi |\rho \rangle$ egy skalár). A külső szorzatot például projekciós operátorok megkonstruálására használhatjuk. Legyen $|\psi \rangle$ 1-es normájú ket. Az általa kifeszített altérbe vetítő operátor ekkor:

$|\psi \rangle \langle \psi |.$

Összetett bra és ket

A V és W Hilbert-terekből tenzorszorzattal képezhetünk egy harmadikat: $V\otimes W$. A kvantummechanikában ha egy rendszer egy V és W által leírt alrendszerből áll, akkor a teljes rendszert a tenzorszorzat írja le – kivéve ha az alrendszerek azonos részecskék, mert ekkor a helyzet egy kicsit bonyolultabb.

Ha $|\psi \rangle$ egy ket V-ben és $|\phi \rangle$ egy ket W-ben, akkor a tenzorszorzatuk egy ket $V\otimes W$-ben, amit többféleképpen írhatunk:

$|\psi \rangle |\phi \rangle$ vagy $|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$ vagy $|\psi \phi \rangle$ vagy $|\psi ,\phi \rangle .$

Reprezentációk braket-jelöléssel

A kvantummechanikában gyakran kényelmesebb a vektoroknak egy bázisra vett vetületeivel dolgozni, mint magukkal a vektorokkal. Az ok, hogy az utóbbiak egyszerűen komplex számok, amiket parciális differenciálegyenletekben használhatunk (például a Schrödinger-egyenlet helykoordináta-bázison). Ez az eljárás nagyon hasonlít a koordinátavektorok használatához a lineáris algebrában.

Például egy nulla spinű részecske Hilbert-terét az $\lbrace |\mathbf {x} \rangle \rbrace$ helybázis feszíti ki, ahol x befutja az összes helyvektort. Kiindulva bármely $|\psi \rangle$ ket-ből ezen a Hilbert-téren definiálhatunk egy komplex skalár függvényt, a hullámfüggvényt:

$\psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\psi \rangle .$

Ezután definiálhatjuk a hullámfügvényre ható operátorokat a ket vektorokon ható operátorok segítségével:

$A\psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |A|\psi \rangle .$

Például a p impulzus operátorát:

$\mathbf {p} \psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\mathbf {p} |\psi \rangle =-i\hbar \nabla \psi (x).$.

A számolás közben előfordul a

$-i\hbar \nabla |\psi \rangle$

kifejezés, amit úgy kell érteni, hogy a differenciáloperátor egy absztrakt operátor, ami a koordinátákra vetítéskor a következőképpen hat:

$-i\hbar \nabla \langle \mathbf {x} |\psi \rangle .$