Born–Kármán-féle határfeltétel

A fizikában, azon belül is elsősorban a szilárdtestfizikában a Born–Kármán-féle határfeltétel egy periodikus határfeltétel. Jellemzően Bravais-rácsok elemi cellájára felírt hullámegyenlet megoldásakor alkalmazzák, ugyanis a határfeltétel periodicitása kifejezi azt, hogy magának a hullámegyenletnek is periodikusnak kell lennie az ideális kristályrácson.

Nevét Max Born német és Kármán Tódor magyar fizikusokról kapta.

Matematikai leírása

A határfeltételt úgy határozták meg, hogy a hullámfüggvény értéke egy adott $\mathbf {r}$ helyen megegyezik ezen helyvektor elemi rácsvektorok szerinti eltoltjai helyén felvett értékeivel, azaz a hullámfüggvény a rács periodicitását követi. Ez az alábbiak szerint írható fel:

${\textstyle \psi (\mathbf {r} +N_{i}\mathbf {a} _{i})=\psi (\mathbf {r} )}$,

ahol $\mathbf {r}$ egy helyvektor az elemi cellában, N-ek egészek, ${\textstyle \mathbf {a} _{i}}$-k pedig a rács primitív bázisvektorai.

Jelentősége

A Born–Kármán-határfeltétel segítségével garantálható, hogy a hullámfüggvény rácsperiodikus lesz. A szilárdtestfizika alapelvei közé tartozik, hogy egyes anyagok, így például kristályok makroszkopikus jellemzőinek magyarázata a mikroszerkezetben, például annak szimmetriaviszonyaiban, felépítésében, periodicitásában keresendő. Így például a szilárdtestek sávszerkezetében értelmezett sávelektronok viselkedésének leírásakor alkalmazzák. Segítségével magyarázhatók a szóródási folyamatok, az elektronok rácsbeli terjedése, a tiltott sáv, stb.

Források

• Max Born, Kármán Tódor (1912). „Über Schwingungen in Raumgittern” (német nyelven). Physikalische Zeitschrift 13. 
• Max Born, Kármán Tódor (1913). „Zur Theorie der spezifischen Wärme” (német nyelven). Physikalische Zeitschrift 14, Kiadó: B. G. Teubner. 
• Leighton, Robert B. (1948). „The Vibrational Spectrum and Specific Heat of a Face-Centered Cubic Crystal”. Reviews of Modern Physics 20 (1), 165–174. o. DOI:10.1103/RevModPhys.20.165. 
• Ashcroft, Neil. Solid state physics. New York: Holt, Rinehart and Winston (1976). ISBN 978-0-03-083993-1 
• Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai II: Fémek, félvezetők, szupravezetők. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2010. ISBN 9789633120286