Ugrás a tartalomhoz

Borel–Kolmogorov-paradoxon

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségszámításban a Borel–Kolmogorov-paradoxon egy nulla valószínűségű halmazra vett feltételes valószínűségre vonatkozó paradoxon. Émile Borel és Andrej Kolmogorov után nevezték el.

Példa

[szerkesztés]

Legyen egy eloszlás egyenletes egy gömbön. Mekkora a feltételes valószínűsége egy főkörre vonatkozólag?

A szimmetria miatt intuitívan adódik, hogy az eloszlás itt is szimmetrikus lesz, azonban két más elemzés ennek ellentmond.

Az elemzés szerint a pont kiválasztása megfelel annak, hogy kiválasztunk egy szélességet és egy hosszúságot. A φ szélességet a [-π/2,π/2] intervallumból választja sűrűséggel, a λ hosszúságot egyenletes valószínűséggel [−π,π]-ből.[1]

Ekkor az egyenlítőn, azaz az φ = 0 által meghatározott főkörön a λ szélesség függvényében a [−π,π] intervallumon

A λ = 0 által meghatározott hosszúsági körön φ függvényében a [−π/2,π/2] intervallumon

Az egyik eloszlás egyenletes, a másik nem, habár mindkettő ugyanarra a főkörre vonatkozik, de más koordináta-rendszerben.

A valószínűségszámítással foglalkozó matematikusok különféle érveket hoztak fel, hogy melyik eredmény a helyes.[1]

Magyarázata

[szerkesztés]

Az első esetben annak a feltételes valószínűsége, hogy a λ hosszúság az E halmazban van, ha φ = 0, írható úgy, hogy P(λ ∈ E | φ = 0). Az elemi valószínűség­számítás szerint a P(λ ∈ E és φ=0)/P(φ=0) képletet lehetne használni, azonban ez nem jóldefiniált, mivel P(φ=0) = 0. A mértékelmélet az Rab = {φ : a < φ < b} eseménycsaládot ajánlja, ami vízszintes gyűrűkből áll az a és b pontok között.

A második esetben a P(φ ∈ F | λ=0) valószínűséget az Lab = {λ : a < λ < b} események definiálják, amelyek gömbi kétszögek, és azokból a pontokból állnak, amelyek hosszúsága a és b közötti. Így, habár P(λ ∈ E | φ=0) és P(φ ∈ F | λ=0) mindegyike valószínűség­eloszlást definiál, egyiket gömbövek, másikat kétszögek segítségével. Nem meglepő, hogy P(λ ∈ E | φ=0) és P(φ ∈ F | λ=0) eloszlása különböző.

A gömb felosztásának bevezetését Kolmogorov javasolta, és a kört a felosztás részének tekintette. Jaynes szerint a nagykör fogalma nem egyértelmű határoló művelet nélkül. A szimmetriára való hivatkozás az egyenlítőt feltételezi, de a narancsevés a másodikat juttatja előnyhöz.

Jaynes határoló műveletének természetes választása a távolságmérésen alapul. Például a szokásos euklideszi távolságot választva egyenletes eloszlást kapunk a főkörökön. Ha azonban egy másik jelölést választunk, akkor az eredmény a eloszlás. Általában, ha definiálva van a távolság, a feltételes eloszlás választása a feltételes eloszlás természetes választása a megfelelő Hausdorff-tér szerint értelmezhető.

Matematikai kifejtés

[szerkesztés]

A probléma megértéséhez azt kell figyelembe venni, hogy egy sűrűség­függvénnyel bíró véletlen változót a sűrűség­függvény csak egy μ mérték szerint jellemez. Az eloszlás leírásához mindkettőre szükség van. Ekvivalensen, lehet teljesen definiálni a teret és az f sűrűségfüggvényt is.

Legyen Φ és Λ valószínűségi változó, értékeiket pedig vegyék fel rendre az Ω1 = [-π/2,π/2] illetve az Ω2 = [-π,π] intervallumokból. Egy {Φ=φ,Λ=λ} esemény az S(r) r sugarú gömbön kijelöl egy pontot. Definiáljuk az

koordináta­transzformációt. Ezzel kapjuk az

térfogatelemet. Továbbá, ha φ és λ valamelyike rögzített, az

térfogat­elemeket kapjuk.

Jelölje a szorzatmértéket, melynek sűrűsége az szerint, és legyen :

Ha feltesszük, hogy egyenletes, akkor

Így egyenletes eloszlású az szerint, de nem egyenletes a Lebesgue-mérték szerint. Másrészt sűrűség­függvénye egyenletes és a Lebesgue-mérték szerint is.

Források

[szerkesztés]
  • Mosegaard, K., & Tarantola, A. (2002). 16 Probabilistic approach to inverse problems. International Geophysics, 81, 237-265.

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. a b Jaynes 2003, pp. 1514–1517

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Borel–Kolmogorov paradox című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.