Bekenstein-Hawking entrópia

A Bekenstein-Hawking entrópia fogalma Jakob Bekenstein mexikói-amerikai-izraeli és Stephen Hawking angol elméleti fizikushoz kötődik. Az általuk felírt matematikai összefüggés megmutatja, hogy közvetlen kapcsolat van a fekete lyukak entrópiája és eseményhorizont között. Az összefüggés a következő képpen adható meg:

$S_{BH}={\dfrac {A}{4L_{p}^{2}}}={\dfrac {c^{3}A}{4G\hbar }}$,

ahol az $L_{p}$ a Planck-hossz, a $G$ a Newton-féle gravítációs állandó, a $\hbar$ redukált Planck-állandó, a $c$ a fénysebesség, az $A$ pedig a fekete-lyuk eseményhorizontjának felülete. A felület meghatározható különböző fekete-lyuk megoldásokra. A stacionárius, gömbszimmetrikus Schwarzschild-megoldás esetén a felület

$A=4\pi r_{s}^{2}=16\pi G^{2}M^{2}/c^{4}$,

ahol $r_{s}$ a Schwarzschild-sugár, az $M$ pedig a fekete-lyuk tömege. Hasonlóan meghatározható a forgó, tötlött fekete-lyukakat leíró Kerr-Newman-metrikára is:

$A=4\pi (r_{KN}^{2}-(J/Mc)^{2})$, ahol $r_{KN}=GM/c^{2}+{\sqrt {(GM/c^{2})^{2}-({\sqrt {G}}Q/c^{2})^{2}-(J/Mc)^{2}}}$

A képlethez vezető út

A Bekenstein-Hawking entrópia bevezetése a 70-es években zajló komoly tudományos vita és kollaboráció eredménye, amelyben a kor számos kiemelkedő általános relatvitáselmélettel foglalkozó elméleti fizikusa részt vett.

Az első fontos mérföldkő, Wheeler és Ruffini 1971-ben megjelent cikke, amelyben kifejtették, hogy egy stacionárius fekete-lyuk felparaméterezéséhez kevés fizikai paraméterre van szükség (tömeg, elektromos töltés, impulzusmomentum). Viszont egy adott paraméterezéshez, sok különböző fekete-lyuk képződés képzelhető el. Tehát feltételezhető, hogy egy adott paraméterezéshez több különböző belső állapot tartozik. A gondolat analóg azzal a statisztikus fizikai (termodinamikai) elvvel, hogy sok különböző mikroállapot konfiguráció tartozhat egy fizikailag megvalósuló makroállapothoz. Ugyanezen évben fogalmazta meg azt a kérdés John Archibald Wheeler, hogy vajon a fekete-lyukba eső objektumok teljesen elvesznek-e? A kérdést megvitatta Jakob Bekensteinnel, aki akkor éppen a témavezettje volt a Princetoni Egytemen, aki az általa feltárt problémát Wheeler démonának nevezett, ezzel utalva a Maxwell-démonra. Ennek hatására Bekenstein ennek a kérdésnek szentelte a PhD kutatását.

Tőlük függetlenül fogalmazta meg 1971-ben Hawking a híres felület tételét. Publikációjában azt állította, hogy a fekete-lyuk eseményhorizontjának felülete soha nem csökkenhet, hanem bármely fekete-lyuk esetében az monoton nő. A cikkben azt a példát tette fel, hogy kezdetben volt két fekete-lyuk egymástól jelentős távolságra, amelyek később egyesülnek és kialakul egy Kerr-féle fekete-lyuk, amelynek meghatározott tömege és spinje van. Ekkor belátta, hogy a keletkezett Kerr-féle fekete-lyuk eseményhorizontjának a felülete szükségszerűen $A_{K}\geq (A_{1}+A_{2})$lesz.