Agnesi-féle görbe

Agnesi-féle görbe

Agnesi-féle görbe (ejtsd: Anyeszi) síkgörbe, algebrai görbe, nevét Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) olasz nyelvész, matematikus és filozófus után kapta.

Szerkesztése az ábra jelöléseivel: Jelöljünk ki egy kör kerületén egy O pontot. Húzzuk meg az OA szelőt, az A pont a kör tetszőleges másik pontja. Az M pont az O pont átmérőjén lévő átellenes kör-pont. Az OA szelő N pontban metszi a körhöz az M pontban húzott érintőt. Az N pontban OM-el húzott párhuzamos egyenes és erre az A-ban állított merőleges a P pontban metszi egymást. Az A pont helyének változtatásával ilyen módon megszerkesztett P pontok az Agnesi-féle görbe mértani helyét alkotják.

A görbe aszimptotája a körhöz O pontban húzott érintő, a görbe szimmetrikus az OM egyenesre.

Egyenletei

Az Agnesi-féle görbe szerkesztését mutató animáció

Legyen O pont az origó és M a pozitív y-tengelyen. Legyen a kör sugara a. Ekkor a görbe egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

$y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}$.

Ha a=1/2, ez az egyenlet ilyen alakra egyszerűsödik:

$y={\frac {1}{x^{2}+1}}.$

Egy paraméteres egyenletrendszere, ha $\vartheta \,$ az OM és OA egyenesek által bezárt szög az óramutató járása szerint mérve:

$x=2a\ \operatorname {tg} \vartheta ,\ y=2a\cos ^{2}\vartheta .\,$

Egy másik paraméteres egyenletrendszer esetén legyen $\varphi \,$ az OA egyenes és az x-tengely által bezárt, az óramutató járásával ellenkező irányban növekvő szög:

$x=2a\ \operatorname {ctg} \varphi ,\ y=2a\sin ^{2}\varphi .\,$

Tulajdonságai

Agnesi-féle görbék a=1, a=2, a=4 és a=8 állandóval.

• Az $M(0,a)\,$ csúcspontban a görbületi sugár:

$R_{M}={\frac {a}{2}}$

• A görbe inflexiós pontjai:

$B{\bigg (}a{\sqrt {3}},{\frac {3a}{4}}{\bigg )}\,$

és

$C{\bigg (}-a{\sqrt {3}},{\frac {3a}{4}}{\bigg )}\,$.

Ezekben a pontokban az érintők meredeksége:

$\operatorname {tg} \alpha _{B}=-3{\sqrt {3/8}}$

és

$\operatorname {tg} \alpha _{C}=3{\sqrt {3/8}}$

• A görbe és aszimptotája közötti terület négyszerese a származtató kör területének, azaz

$T=4\pi a^{2}\,$.

• A görbének, mint meridiángörbének az aszimptota körüli megforgatásával származtatott forgástest térfogata:

$V=4\pi ^{2}a^{3}\,$.

• A görbe súlypontja a ${\Big (}0,{\frac {a}{2}}{\Big )}$ pont.

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091