Érintősokszög

Egy érintőtrapéz

A matematika, azon belül az euklideszi geometria területén egy érintősokszög olyan konvex sokszög, ami beírt körrel rendelkezik. Ez olyan kör, ami a sokszög összes oldalával érintő helyzetben van. Az érintősokszögek duálisai a körbe írt sokszögek (húrsokszögek), melyek köréírt köre a sokszög összes csúcsán áthalad.

Minden háromszög érintősokszög, ahogy minden szabályos sokszög is. Az érintősokszögek közül az érintőnégyszögeket behatóan tanulmányozták; ide tartoznak a rombuszok és deltoidok.

Karakterizáció

Egy konvex sokszögnek akkor és csak akkor van beírt köre, ha belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a közös pont a beírt kör középpontja (incenter).

Az n darab, a₁, ..., a_n hosszúságú szakaszokból ebben a sorrendben pontosan akkor állítható elő érintősokszög, ha az

$x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}$

egyenletrendszernek van (x₁, ..., x_n)-re megoldása a valós számok körében. Ha van megoldás, akkor az x₁, ..., x_n számok a sokszög csúcsainak és az érintő pontoknak a távolságai (tangent lengths).

Egyediség és nem egyediség

Ha páratlan számú n oldalról van szó, akkor ha az $a_{1},\dots ,a_{n}$ oldalhosszak kielégítik a fenti egyenletrendszert, akkor az előállítható érintősokszög egyedi. Ha n páratlan, akkor az adott oldalhosszakkal végtelen sok érintősokszög szerkeszthető.^{p. 389} Például az érintőnégyszögek esetében, ha mind a négy oldal egyenlő hosszú, rombuszról van szó, melynek a hegyesszögei bármely hegyesszögű értéket felvehetnek, és minden rombusz érintőnégyszög.

Beírt kör sugara

Ha a₁, ..., a_n az érintősokszög n oldala, a beírt kör sugara:

$r={\frac {T}{s}}={\frac {2T}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}},$

ahol T a sokszög területe, s pedig a félkerület. (Mivel minden háromszög érintősokszög, a képlet az összes háromszögre is igaz.)

Egyéb tulajdonságok

• Páratlan oldalszámú érintősokszögek oldalai pontosan akkor egyenlők, ha a szögeik is egyenlők (tehát ha a sokszög szabályos. Páros számú oldal esetében az oldalak pontosan akkor egyenlők, ha a páros, illetve a páratlan sorszámú szögek külön-külön egyenlőek (tehát ha az A, C, E ... szögek egyenlőek és a B, D, F ... szögek is egyenlőek).
• Páros oldalszámú érintősokszögben a páratlan sorszámú oldalhosszak összege megegyezik a páros sorszámú oldalhosszak összegével.
• Egy érintősokszög területe kisebb bármely más sokszögnél, ami ugyanazzal a kerülettel és sorrendben is megegyező belső szögekkel rendelkezik.^{p. 862}
• Bármely érintősokszög súlypontja, a kerületi pontjainak súlypontja és a beírt körének középpontja egy egyenesbe esnek, ahol a sokszög súlypontja 1:2 arányban osztja a kerületi pontok súlypontját a beírt kör középpontjával összekötő szakaszt.^{pp. 858–9}

Érintőhatszög

• Az ABCDEF érintőhatszög AD, BE és CF átlói egy pontban metszik egymást a Brianchon-tétel értelmében.

Kapcsolódó szócikkek

• Húrsokszög
• Circumgon

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Tangential polygon című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.