Átviteli függvény

Az átviteli függvényeket az irányításelméletben és a rendszertechnikában használják a rendszerek bemenete, illetve kimenete közötti kapcsolat megadására, azaz gyakorlatilag egy rendszermodelltípus. Az átviteli függvények általában Laplace-transzformált- vagy z-tartományon értelmezett függvények, és értékük a transzformált kimeneti és bementi függvény hányadosával egyenlő.

Az átviteli függvények az egy bemenetű, egy kimenetű rendszerek leírására használatosak.

Az átviteli függvények származtatása

Az átviteli függvényeket az egy bemenetű, egy kimenetű időben folytonos, illetve időben diszkrét kimenet-bemenet modellekből lehet származtatni.

Időben folytonos modellből történő származtatás

Az időtartományon folytonos bemenet-kimenet modell általában differenciálegyenletet, vagy differenciálegyenleteket takar, melyeknek időtartományon történő megoldása nehézkes, vagy nem is lehetséges. Azonban ha ezen differenciálegyenleteket Laplace-transzformáljuk, a transzformáció tulajdonságaiból kifolyólag algebrai egyenleteket kapunk, melyeket lényegesen könnyebb kezelni.

Folytonos, egy bemenetű, egy kimenetű bemenet-kimenet modell általános alakja:

$\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}{\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}}=\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}{\frac {d^{j}u}{dt^{j}}}}$

Az egyenlet mindkét oldalán Laplace-transzformációt kell végrehajtanunk:

${\mathcal {L}}{\Bigg \{}\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}{\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}}{\Bigg \}}={\mathcal {L}}{\Bigg \{}\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}{\frac {d^{j}u}{dt^{j}}}}{\Bigg \}}$

$\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}s^{i}Y(s)}=\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}s^{j}U(s)}$

A következő lépés az átviteli függvény, azaz a transzformált kimeneti függvény és a transzformált bemeneti függvény hányadosának felírása:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}s^{j}}}{\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}s^{i}}}}$

Az egy bemenetű, egy kimenetű, időben folytonos bemenet-kimenet modellnek megfelelő átviteli függvény. Ehhez hasonlóan más folytonos modellek átviteli függvényei is felírhatók.

Időben diszkrét modellből történő származtatás

Az egy bemenetű, egy kimenetű időben diszkrét bemenet-kimenet modell differenciaegyenletének általános alakja:

$\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}y_{k-i}}=\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}u_{k-j}}$

Az időben diszkrét modellek esetében a z-transzformáció áll rendelkezésre, ezt kell elvégezni a differenciaegyenlet mindkét oldalán:

${\mathcal {Z}}{\Bigg \{}\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}y_{k-i}}{\Bigg \}}={\mathcal {Z}}{\Bigg \{}\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}u_{k-j}}{\Bigg \}}$

$Y(z^{-1})\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}z^{-i}}=U(z^{-1})\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}z^{-j}}$

Ezután, az időben folytonos esethez hasonlóan felírható az átviteli függvény, a transzformált kimeneti függvény és a transzformált bemeneti függvény hányadosa:

$G(z^{-1})={\frac {Y(z^{-1})}{U(z^{-1})}}={\frac {\sum _{j=0}^{m}{b_{m-j}z^{-j}}}{\sum _{i=0}^{n}{a_{n-i}z^{-i}}}}$

Az időben diszkrét rendszerek átviteli függvényét impulzusátviteli függvénynek is nevezik.

Az átviteli függvények tulajdonságai

A fenti levezetésekből látható, hogy az átviteli függvények gyakran polinomok hányadosaiként, illetve polinomok hányadosainak számszorosaként állnak elő. Ezekben az esetekben a számlálóban szereplő polinom gyökeit zérusoknak, a nevezőben szereplő polinom gyökeit pedig pólusoknak nevezzük.

Néhány gyakori rendszermodellhez tartozó átviteli függvény

Elsőrendű, időben folytonos rendszer átviteli függvénye

$G(s)={\frac {K}{Ts+1}}$

Elsőrendű, időben folytonos holtidős rendszer átviteli függvénye

$G(s)={\frac {K}{Ts+1}}e^{-T_{H}s}$

Másodrendű, időben folytonos rendszer átviteli függvénye

$G(s)={\frac {K}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}}$

Elsőrendű, időben diszkrét rendszer átviteli függvénye

$G(z^{-1})={\frac {b_{1}z^{-1}}{1+a_{1}z^{-1}}}$