Általánosított inverz eloszlásfüggvény

Az általánosított inverz eloszlásfüggvény, más néven kvantilis transzformáció vagy kvantilisfüggvény egy speciális valós függvény a valószínűségszámításban. Minden eloszlásfüggvényhez rendelhető általánosított inverz eloszlásfüggvény, ami bizonyos feltételek esetén az eloszlásfüggvény inverze. Az általánosított inverz eloszlásfüggvény minden nulla és egy közötti számhoz hozzárendeli azt a számot, ahol az eloszlásfüggvény ezt a számot túllépi.

Például, ha adva van az európaiak cipőméretének valószínűségeloszlását leíró eloszlásfüggvény, akkor a megfelelő általánosított inverz eloszlásfüggvény a 0,9 helyen azt adja meg, hogy mekkora az a cipőméret, aminél az európaiak 90%-a legfeljebb ekkora cipőt visel.

Az általánosított inverz eloszlásfüggvényt használják a kvantilisek meghatározásához. Vele határozzák meg adott eloszlásfüggvényű valószínűségi változók eloszlását. Ennek alapötletét alkalmazzák arra, hogy egyenletes eloszlású véletlen számokból adott eloszlású véletlen számokat generáljanak.

Definíció

Legyen

$F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

eloszlásfüggvény olyan értelemben, hogy monoton nő, balról folytonos, és léteznek az $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ és $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$ határértékek.

Ekkor F általánosított inverz eloszlásfüggvénye egy $F^{-1}\colon (0,1)\to \mathbb {R}$ függvény,

$F^{-1}(u):=\inf\{x\in \mathbb {R} \mid F(x)\geq u\}.$

Megjegyzések a definícióhoz

Vegyük észre, hogy a definícióban nem feltétlenül olyan eloszlásfüggvény szerepel, amihez tartozik valószínűségeloszlás, hanem annak négy meghatározó tulajdonsága. Ennek célja nemcsak az általánosabb definíció, hanem azért van szükség rá, mivel az általánosított inverz eloszlásfüggvény használják eloszlásfüggvények előállítására. Emiatt a definícióban kifejezetten eloszlásfüggvényt szerepeltetni körkörös okoskodáshoz vezetne.

Az $F^{-1}$ jelölés azt sugallja, hogy ez inverz függvény, de ez nem mindig igaz. Egy eloszlásfüggvény nem feltétlenül invertálható: lehet egy szakaszon konstans. A jelölés használata mégiscsak jogos, mivel ha az inverz létezik, akkor az általánosított inverz eloszlásfüggvény az eloszlásfüggvény inverze.

Bővebb magyarázat

Definíció szerint a függvény az $u$ helyen azt az értéket veszi fel, ami a legkisebb szám, ahol az eloszlásfüggvény túllépi az $u$ értéket.

Ha az eloszlásfüggvény folytonos, akkor az általánosított inverz eloszlásfüggvény megkapható a következőképpen: Húzzunk $u$ távolságban párhuzamost az x tengellyel. Ez egy pontban vagy intervallumban metszi az eloszlásfüggvényt. Ha a metszéspont koordinátái $(x,u)$, akkor az általánosított inverz eloszlásfüggvény az $x$ értéket veszi fel az $u$ helyen. Ha a metszet egy intervallum, akkor a legkisebb $x$ koordináta lesz az érték.

Példa

Tekintsük példaként az exponenciális eloszlást. Ennek eloszlásfüggvénye

$F(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$

ahol $\lambda$ pozitív. Az eloszlásfüggvény szigorúan monoton nő az $(0,\infty )$ szakaszon, így bijektív; és ezt az intervallumot a $(0,1)$ szakaszra képezi. Ezért egyértelműen létezik egy $F^{-1}$ függvény, amit az

$u=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}$

egyenletet $x$-re megoldva kapunk. Ennek megoldása az

$F^{-1}(u)={\frac {-\ln(1-u)}{\lambda }}$ általánosított inverz eloszlásfüggvény.

Többnyire nem lehet ezzel a módszerrel kiszámítani az általánosított inverz eloszlásfüggvényt. Diszkrét vagy vegyes eloszlások esetén az eloszlásfüggvény nem invertálható. Még invertálható esetben is előfordulhat, hogy nem tudjuk kifejezni az inverz függvényt zárt alakban. Erre példa a normális eloszlás, melynek inverz függvényét numerikusan számolják.

Tulajdonságok

Az általánosított inverz eloszlásfüggvény balról folytonos, monoton növő függvény. Ezzel valószínűségi változónak tekinthető a $((0,1),{\mathcal {B}}((0,1)))$ valószínűségi mezőn, $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ szerint. Ha egy $((0,1),{\mathcal {B}}((0,1)))$ teret ellátjuk az egyenletes ${\mathcal {U}}_{(0,1)}$ eloszlással, vagy ekvivalensen a Lebesgue-mértékkel, akkor az $F^{-1}$ valószínűségi változó eloszlása az ${\mathcal {U}}_{(0,1)}$-en valószínűségi mérték $\mathbb {R}$-en, és eloszlásfüggvénye $F$.

A valós számok minden $P$ valószínűségi mértéke felfogható egy valószínűségi változó eloszlásának. Ha $P$ eloszlásfüggvényét $F_{P}$ jelöli, akkor ilyen eloszlású az

$F_{P}^{-1}\colon ((0,1),{\mathcal {B}}((0,1)),{\mathcal {U}}_{(0,1)})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$

valószínűségi változó.

Alkalmazások

Adott eloszlású valószínűségi változók konstrukciója

A valószínűségi változókat mértékterek mérhető leképezéseiként vezetik be. Ha az alaptéren még egy valószínűségi mérték is definiálva van, akkor eloszlása definiálható. A további absztrakcióval azonban az alaptér és a hozzá tartozó valószínűségi mérték háttérbe szorul az eloszlásfüggvénnyel szemben. Megmutatható, hogy minden adott eloszlású valószínűségi változó kiegészíthető megfelelő, valószínűségi mértékkel ellátott alaphalmazon definiált valószínűségi változóvá. Az általánosított inverz eloszlásfüggvény valós eloszlások esetén további argumentumot szállít: Adott eloszlásfüggvényű valószínűségi változó felfogható a nulla-egy intervallumon értelmezett valószínűségi változónak, folytonos egyenletes eloszlással. Emiatt nem kell foglalkozni a valószínűségi mezővel, amikor valószínűségi változókról és eloszlásukról van szó.

Független valószínűségi változók konstrukciója

A fenti konstrukciót arra is használják, hogy megmutassák független valószínűségi változók létezését. Először approximációs érveléssel mutatják meg, hogy vannak a $(0,1)$ intervallumon független valószínűségi változók. Általánosított inverz eloszlásfüggvénnyel komponálva megőrződik a függetlenség, és a valószínűségi változók eloszlása is a kívánt lesz.

Kvantilisek meghatározása

Ha adva van egy $P$ eloszlás, vagy egy $X$ valószínűségi változó, aminek eloszlása $P_{X}=P$, akkor a hozzá tartozó $F^{-1}$ általánosított inverz eloszlásfüggvény az $u$ az $u$-kvantilist adja. Ez közvetlenül adódik a definícióból.

Források

• Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., bővített és átdolgozott, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014) 
• Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.