Znám-probléma

A Znám-probléma számelméleti feladat, amelyet Znám István szlovákiai magyar matematikus fogalmazott meg 1972-ben.

A feladat megfogalmazása

Meghatározandók azok a k≥2 pozitív, 1-nél nagyobb egész számból álló halmazok, amelyekre igaz, hogy mindegyik eleme valódi osztója a többi szám szorzata eggyel növelt értékének. Azaz, adott k számra keressük az

$\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$   (minden $n_{i}>1$)

halmazokat, amelyekre minden $n_{i}$ valódi osztója a

$\left(\prod _{j\neq i}n_{j}\right)+1$

számnak.

Példa

A {2, 3, 11, 23, 31} halmaz teljesíti a fenti feltételeket, mert

3·11·23·31+1=23530   és   23530=2·11765

2·11·23·31+1=15687   és   15687=3·5229

2·3·23·31+1=4279   és   4279=11·389

2·3·11·31+1=2047   és   2047=23·89

2·3·11·23+1=1519   és   1519=31·49

Megoldása

Ha 2 ≤ k ≤ 4, akkor nem létezik ilyen halmaz (Jának, Skula 1978), ha viszont k ≥ 5, akkor mindig létezik megoldás (Sun Qi 1983). Csak a 2 ≤ k ≤ 8 értékekre ismert minden megoldás.

Források

• Wolfram Mathworld
• Sun, Qi: On a problem of Š. Znám, Sichuan Daxue Xuebao, 1983, nr. 4. pp. 9–12.