Weierstrass approximációs tétele

Weierstrass (első) approximációs tétele a matematikai analízis gyakorlati és elméleti szempontból is jelentős eredménye. A Karl Weierstrass német matematikus által 1885-ben publikált tétel szerint a valós számok egy zárt intervallumán folytonos valós függvények egyenletesen közelíthetők polinomokkal.

A tétel megfogalmazása és bizonyítása

A tétel azt állítja, hogy tetszőleges, az [a,b] zárt valós intervallumon folytonos f valós függvényhez és minden ε>0-hoz megadható olyan p polinom, hogy |f(x)-p(x)|<ε minden x∈[a,b]-re. Valóban, a Heine-tétel szerint f egyenletesen folytonos [a,b]-n, tehát van olyan δ>0, hogy x,y∈[a,b],|x-y|<δ esetén |f(x)-f(y)|<ε. Legyen $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$ egy δ-nál finomabb felosztás, és jelöljük g-vel azt a töröttvonalfüggvényt, amely az x_i pontokban megegyezik f-el, az [x_i-1,x_i] intervallumokban pedig lineáris. Ekkor |g(x)-f(x)|<ε minden x∈[a,b]-re. Ha ui. x_i-1≤x≤x_i, akkor |x-x_i-1|<δ és |x-x_i|<δ alapján |f(x)-f(x_i-1)|<ε és |f(x)-f(x_i)|<ε, azaz f(x_i-1) és f(x_i) mindegyike az (f(x)-ε,f(x)+ε) intervallumba esik. Mivel g(x) a g(x_i-1)=f(x_i-1) és g(x_i)=f(x_i) számok között van (hiszen g lineáris [x_i-1,x_i]-ben), ezért |g(x)-f(x)|<ε. Mivel bármely töröttvonalfüggvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal, létezik olyan p polinom, amelyre |p(x)-g(x)|<ε minden x∈[a,b]-re. Ekkor |p(x)-f(x)|≤|p(x)-g(x)|+|g(x)-f(x)|<2ε minden x∈[a,b]-re.

Jelentősége

A tétel gyakorlati jelentősége az, hogy megmutatja: a számítógépekkel jól kezelhető polinomfüggvények segítségével tetszőlegesen jól közelíthetők a zárt intervallumon folytonos függvények. Egyik fontos elméleti folyománya az, hogy a zárt intervallumon folytonos függvények tere szeparábilis.

Általánosítása

A tételt a 20. század közepén jelentősen általánosította Marshall Stone, aki egyben a bizonyítást is leegyszerűsítette. Az általánosított eredmény Stone–Weiertstrass-tétel néven ismert.

Források

• Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978 963 19 6084 6
• K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II). Erste Mitteilung Archiválva 2018. június 10-i dátummal a Wayback Machine-ben (Első rész) 633–639. oldal, Zweite Mitteilung Archiválva 2017. július 8-i dátummal a Wayback Machine-ben (Második rész) 789–805. oldal.
• Stone, Marshall H.: The Generalized Weierstrass Approximation Theorem. Mathematics Magazine pp. 167–184, 1948. DOI:10.2307/3029750.