Viviani-féle test

A Viviani-test a nevét Vincenzo Viviani olasz matematikusról kapta, aki megrajzolta. A test egy gömbből és két hengerből áll.

A Viviani-test térfogata

Tekintsük az $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ egyenletű egységgömböt, és távolítsuk el belőle az $x^{2}-x+y^{2}=0$ és az $x^{2}+x+y^{2}=0$ egyenletű egyenes hengerekbe eső részt.

A T tartomány feletti rész a nyolcadrésze a testnek, mert a test szimmetrikus (4-4 ilyen egybevágó darab van az xy sík alatt és felett is). Területi integrállal (kettős integrál) számolunk. Ez azt jelenti, hogy a gömb egyenletét átrendezve kapjuk, hogy $f(x,y)={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}$ . Innen a kettős integrált felírva a Viviani-test térfogata: $V=8\int \int _{T}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}\,\mathrm {d} x{d}y$ . Polártranszformáció segítségével számolunk. A két kör poláregyenlete r(α)=1 és r(α)=cosα. Ebből a térfogat:

$V=8\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}$ ${\Big (}\int _{\cos {\alpha }}^{1}{\sqrt {1-r^{2}}}r\,\mathrm {d} r{\Big )}\,\mathrm {d} {\alpha }$ $=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}$ ${\Big [}$ ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {-1}{2}}$ ${(1-r^{2})}^{\frac {3}{2}}$ ${\Big ]}_{\cos {\alpha }}^{1}$ $={\frac {8}{3}}$ $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}$ ${(\sin {\alpha })}^{3}\,\mathrm {d} {\alpha }$ $={\frac {8}{3}}$ $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}$ $\sin {\alpha }\,$ $(1-{\cos }^{2}{\alpha })\,\mathrm {d} {\alpha }$ $={\frac {8}{3}}$ $\int _{1}^{0}$ $(1-u^{2})(-\,\mathrm {d} u)$ $={\frac {8}{3}}$ ${\Big [}u-{\frac {u^{3}}{3}}{\Big ]}_{0}^{1}$ $={\frac {16}{9}}\,$

(ahol u=cosα - felhasználtuk az integrálási szabályokat)

Érdekesség

A gömb és a hengerek által határolt test térfogatára eredményül racionális számot kaptunk, azaz nincs benne π. A térfogat meghatározásában egység sugarú gömböt vettünk. Ha nem egység sugarú a gömb, akkor is racionális az eredmény, méghozzá a 16/9-nek a gömb sugárhossz-szorosa.

Források