Vita:Zsebhalmazelmélet

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Az elmélet megalkotása nem Rudy Rucker nevéhez fűződik, hanem Randall M. Holmes-éhoz. Rudy Ruckernek csak az alapötletet tulajdonítja Holmes. – Aláíratlan hozzászólás, szerzője Mcysh (vitalap | szerkesztései)

"Egyes matematikusok és matematikafilozófusok szerint a matematika megalapozásához elegendő összesen két végtelen számosság"

kétlem, hogy lenne olyan matematikus, vagy matematikafilozófus, aki azt gondolná, hogy a matematika megalapozható a zsebhalmazelmélettel :)

„We (and many others) have observed that of all the orders of in�nity in Cantor's paradise, only two actually occur in classical mathematical practice outside set theory...”

ebből? Mozo ^vita 2008. február 8., 22:12 (CET)

Természetesen nem ebből. Bevett eljárás a matematika megalapozásában, hogy kis halmazelméletből indulunk el, és azt később bővítjük. Megszámlálható halmazokkal tetszőleges halmazelméleti axiómarendszert lehet modellezni. Mindegy, ez végül úgyis kimaradt.

– Mcysh ^vita 2008. február 9., 02:08 (CET)

Örülök, a kompromisszumnak.

Az "alternatív"ot a következők miatt húztam ki. A fenti idézet pont arra mutat rá, hogy igaziból nem is halmazelmélet (ahogy egy matematikus gondolna rá), csak egy valódi és individuális összességeket felmutató elméletke, ami hasonlít a halmazelméletre. Ugyan egy olyan munkában szerepel, aminek a címe alternatív halmazelméletek, de nem hinném, hogy ha rákérdeznénk Holmes-ra, hogy ez valóban alternatívája-e a halmazelméletnek, igent mondana.

A "bevett eljárás"on azt érted, hogy megszámlálható belső modelleket gyártunk és ezekre alapozzuk a forszolást? Ez matematikai logikusok számára valóban bevett, de ezek a modellek igaziból nem hordoznak jelentést, csak a számolgatást segítik. A zsebhalmazelmélet pedig nem ilyen -- súlyos filozófiai elkötelezettség terheli: fenttartjuk a Cantor-tételt, de elvetjük a hatványhalmaz axiómát, ez egy teleologikus elmélet és nem a modellépítés eszköze.

" Mindegy, ez végül úgyis kimaradt." -- örökre nem maradt ki -- a wiki lényege, hogy ha akarod, beleírhatod :) Mozo ^vita 2008. február 9., 07:18 (CET)

1. Megkérdeztem Holmest, hogy halmazelméletnek tekinti-e a PST-t. Amint válaszol, bemásolom ide.

2. Nem, nem forszolásra gondoltam, hanem megalapozásra. Tyúk-tojás problémaként szoktak hivatkozni arra, hogy a halmazelmélet az elsőrendű logikára, annak szintaxisa és szemantikája meg halmazelméletre épül. Sokféleképpen lehet kezelni ezt a problémát (Ruzsa pl. a kanonikus kalkulusok elméletével); egy lehetőség az, hogy nagyon gyenge logikai előfeltevésekre alapozva bevezetünk egy gyenge halmazelméletet. Ez lehetővé teszi az elsőrendű szintaxis és szemantika bevezetését; itt aztán már be lehet vezetni ZF-et, és abba a szokásos módon beágyazni a többi matematikai elméletet. (Holmes nem erről ír az általad idézett szövegrészben, hanem arról tréfálkozik, hogy "a természetben" nincs nagyobb számosság, mint a kontinuum. Holmes egyébként nem egy naiv platonista; innen lehet tudni, hogy ez csak tréfa.) Mindennek kifejtése nagyon megterhelmé a szócikket, az utalást meg tényleg nem lehetett érteni, jobb, hogy törölted.

3. Az |X|=|Y| jelöléssel az a probléma, hogy páraxióma nélkül sem a rendszámok, sem a számosságok létezésében nem lehetünk biztosak. Tehát amíg nem bizonyítjuk be, nem lehet tudni, hogy létezik-e |X| és |Y|. De valójában nem is ezekről teszünk állítást, hanem arról, hogy létezik bijekció X és Y között. Van, aki erre az $\approx$ szimbólumot használja, van, aki $=_{\mathrm {c} }$-t ír. De megfelelő magyarázattal az |X|=|Y| forma sem hibás.

4. A "jelöli" akkor lenne pontos, ha metanyelvben formalizálnánk. Ezért írtam, hogy "rövidíti".

5. Azért írtam át a szócikket, mert nagyon sok volt benne a hiba. Hibásan volt kimondva például a végtelenségi axióma; egyszerűen lemaradt a másik fele. Így nem következett az axiómákból, hogy a halmazuniverzum felülről korlátos, tehát hogy az elmélet megfelel a nevének. A laptörténet szerint ez elég sokáig észrevétlenül maradt. Amikor ilyen szintű félreértések vannak, elkerülhetetlen a formulák használata. A köznyelv mondatai gyakran többértelműek; az elsőrendű formulák nem.

– Mcysh ^vita 2008. február 9., 15:00 (CET)

"Megkérdeztem Holmest" -- lett volna egy fogadásom rá, hogy meg fogod kérdezni :)) ez azért is jó, mert a témában tudtommal nincs angol wikilap.

egyébként egyetértek a fent indítvényozott változtatásokkal. Mozo ^vita 2008. február 9., 17:29 (CET)

Holmes válaszából: "Of course it is a set theory -- unless one defines set theory in a way which excludes theories with proper classes. It is a set theory if Morse Kelley is a set theory, for sure. ... There is no commitment in having a set theory to a particular hierarchy of infinities." Megjegyzem: ez még mindig nem perdöntő. Az ember elfogult a saját elméletével szemben. Az talán jobb érv, hogy Vopenka halmazelméletében is csak ez a két végtelen számosság van, és azt elég széles körben használják halmazelméletként. Mcysh ^vita 2008. február 9., 23:12 (CET)

Hááát, igen. Két triviális válasz van a kérdésre. Az egyik, hogy persze, hogy halmazelmélet, hisz mi más lenne!? A másik nem túl konstruktív válasz, hogy jó, a pincsi is kutya, de lehet, hogy egy dándoggal összehasonlítva már nem is az :)

Szerintem ez inkább egy olyan osztályelmélet, amiben vannak halmazok, mintsem egy osztályokat is felmutató halmazelmélet. Szerintem egy halmazelméletben sokféle halmaznak kell lenni -- éspedig többnek, mint azt normál aggyal gondolnánk. A sztenderd halmazelméletben vagy ennek egy "alternatívájában" nem csak hogy nagyon sok halmaz van, hanem nagyon-nagyon sok (nem tudom érthető-e amit gagyogok).

Ami viszont érdekelne, hogy vajon milyen kapcsolat van a PST és a természetes számok vagy a "természetes számok halmazelmélete" között. Lehet, hogy a PST inkább egy jó alaposan kibővített vagy másodrendű Peano-aritmetika? Mozo ^vita 2008. február 10., 12:04 (CET)

Fogok válaszolni! De előbb idemásolom Holmes egy újabb levelét:

I have a more specific response for your friend.

All that is required for a theory to be a set theory is that it contain a predicate E of membership which satisfies the weak axiom of extensionality (objects which have elements and which have the same elements are equal).

All the rest is details about what sets there are.

Ami a kérdést illeti: nehéz egy másodrendű és egy elsőrendű elméletet összehasonlítani. Mindenesetre a másodrendű PA-ban lehet természetes számosztályokról beszélni, de nem hiszem, hogy valós számosztályokról vagy valós függvényekről is lehetne. PST-ben lehet, úgyhogy ez gazdagabb elméletnek tűnik. (Formális összehasonlításra nem vállalkoznék.) – Mcysh ^vita 2008. február 14., 01:15 (CET)

Természetesen Holmes utóbbi megjegyzése is kritizálható. Egyrészt, közismert, hogy sokan a nem-jólfundált (without the axiom of foundation) halmazelméleteket nem nagyon tekintik halmazelméletnek, inkább gráfelméletnek; és ez jogos kritika, hiszen ∈ valóban tekinthető irányított élnek. Másrészt szerintem az extenzionalitás csak a halmazok "osztálytulajdonságáról" beszél, így ez csak azt jelenti, hogy az ilyen elméletek osztályelméletek (ahogy azt már megfogalmaztam korábban).

A nem-jólfundált halmazelméletek is ugyanolyan erővel tekinthetők gráfelméletnek, nem? Egyébként én nem nagyon értem, miért mondja Ruzsa, hogy a nem-jólfundált halmazelméletek szemléletellenesek (BML 154.o.). Az én szemléletemnek teljesen megfelel az, hogy van univerzális halmaz, és az ugye kénytelen eleme lenni önmagának. És ebből semmiféle ellentmondás nem keletkezik mindaddig, amíg egyéb, számomra kevésbé szemléletes axiómákat mellé nem teszünk. Zermelo halmazelméletében nem volt kikötve a jófundáltság, csak a huszas években került képbe. Gödel (1940) azt írja róla, hogy csak azért szerepelteti, mert "jelentős mértékben egyszerűsíti a későbbi munkát" (38.o.). A Hajnal-Hamburger azt írja róla: "azért nem vezettük be a naiv tárgyalásban, mert nem elég természetes" (140.o.). Nekem kicsit olyan a jólfundáltság, mint a sakkban a sánc. Annak való, aki nagyon be akarja biztosítani magát. Amíg nem kényszerülünk rá, fölösleges élni vele.

Ez számomra központi kérdés: szerintem nincs _a_ halmazelmélet, amelyhez a többi halmazelméletet mérni lehetne, hanem vannak halmazelméleti intuícióink, és vannak alternatív axiómarendszerek, amelyek közül egyik-másik nagyon sikeres lett, de ennek csak tudásszociológiai jelentősége van, nem elvi. Tisztában vagyok vele, hogy ez kisebbségi vélemény, de emiatt a véleményem miatt kezdtem bele a szócikkcsaládba.

Egyébként én Holmes-nál konzervatívabb vagyok: én csak akkor hajlok arra, hogy egy elméletet halmazelméletnek nevezzek, ha garantálja, hogy V_omega -- a hereditáriusan véges jólfundált halmazok összessége -- része a halmazuniverzumnak.

– Mcysh ^vita 2008. február 14., 22:51 (CET)

Mindkét kérdés érdekes: halmazelmélet-gráfelmélet; egy halmazelmélet van-e. Mindekettő állítás formájában kánonnak tekinthető (antijólfundált -> gráfelmélet, egy halmazelmélet van). Pedig a nagy guru, Boolos állította, hogy "a ZFC mögött legalább 2 ellentétes intuíció húzódik meg". Ráadásul én a 'legalábbat' is hangsúlyoznám. ZFC-ben is ott van a komprehenzió és az iteráció. És vajon minek mondjuk C-t vagy a regularitást? Ezek szerintem a halmazelmélet matematikafilozófiájának centrális kérdései -- és nem a tyúk-tojás probléma. Örülök, hogy az ellentétes intuíciók kérdését Te is lényegesnek tekinted!Mozo ^vita 2008. február 17., 12:28 (CET)

Kezdem elveszteni a fonalat. Az "egy halmazelmélet vs. sok halmazelmélet" probléma magában foglalja a "kis halmazelméletek vs. nagy halmazelméletek" részproblémát is. Holmes a kis halmazelméletek jelentőségét egyértelműen a matematika megalapozásához köti: "It is commonly noted that set theory produces far more superstructure than is needed to support classical mathematics. In this section, we describe two miniature theories which purport to provide enough foundations without nearly as much superstructure." (Alternative Set Theories, 35.o.) És azért próbáljuk minimalizálni a matematika megalapozásához szükséges eszközöket, hogy a körkörösséget az elkerülhetetlenre szorítsuk.

Nem értem, amit a kánonról írsz. Én ezt a gráfelméletes besorolást még csak Ruzsánál olvastam. Más szerzők általában lekezelően írnak a regularitásról.

– Mcysh ^vita 2008. február 18., 00:31 (CET)

Remélem sem a fonalat, sem a türelmed nem fogod elveszteni! :) Nagyjából értem mi a probléma: egyrész nem voltam világos. Másrészt én nem a megalapozási problematika felől közelítve értékelem a "halmazelméleteket". Persze, ha a zsebhalmazelmélet innen nézve értékes, akkor jóindulatúan támogatom az ő h.e.-ségét, más szempontból azonban nem. Azt gondolom, hogy a h.e. egy külön matematikai tudományág. Kifejezetten nemmegalapozási szempontból én csak a hatványhalmaz axiómát tartalmazó elméleteket tekintem h.e.-eknek, mert ebből fakad -- szerintem -- az elmélet ősintuiciója a Cantor-tétel, illetve a Cantor-paradoxonkör. A kezdetekkor ebbe kötött bele Kronecker és ettől a finitista ellenvetéstől eltávolodva keletkezett a végtelen számosságok aritmetikája, ami -- sztem -- 'a' központi témája a h.e.-nek.

Cantor naív h.e.-e és a ZFC eleget tesz Dummett kritériumának: egy elmélet felállítását meg kell előznie annak, hogy legyen valamilyen határozott elképzelésünk arról, hogy az elmélet mely nyelvi objektumai milyen jelentéssel bírnak. Én ezt nevezem az elmélet mögött meghúzódó intuíciónak (még ha nem is az). Cantornál ez világos: komprehenzió. A ZFC-ben keveredik a komprehenzió és az iteratív személet. Az alternatív h.e-eknél -- és itt nem bántani akarom őket -- sokszor a szintaxis, meg az ellentmondásmentesség valamiféle kicsikarása előbbi mint az intuíció, például az NF-nél. A szándékolt jelentés ezen hiánya vagy homályossága kissé zavaró. Persze a matematikusokat ez nem érdekli, ők a "vak" szintaxisokat is nagyon kedvelik. Engem nem a sok halmazelmélet foglalkoztat, hanem a több intuíció, illetve ennek hiánya.Mozo ^vita 2008. február 18., 15:16 (CET)

Egyetértek a következőben:

1. Mindenki azt tart fontosnak a halmazelméletben, amit akar, és akinek a halmazelmélet lényegéhez tartozik a végtelenek végtelen hiararchiája, azt nyilván zavarják a kis halmazelméletek, és teljes joggal mondja, h. nagyon aranyos ez a pincsi, csak ne nevezzük kutyának.

Kétségeim vannak viszont a következőkben:

2. Nem tudom, hogy ZF mennyire felel meg Cantor "eredeti" intuícióinak, és azt sem, hogy Cantor intuíciói nem változtak-e meg időnként a saját eredményei hatására. ZF-ben nincs abszolút végtelen sokaság; PST-ben viszont van. Ebből a világért sem következtetnék arra, hogy ez az elmélet a Cantor-hűbb; de ebben az egy tekintetben Cantor-hűbb. A történészek szoktak olyanokat mondani, hogy a halmazelmélet a valós számhalmazok tulajdonságainak tanulmányozására született. Feltéve -- de meg nem engedve --, hogy ez az igazság: igaza van Holmes-nak, hogy a végtelenek végtelen hierarchiája "jóval nagyobb felépítmény, mint amire szükség van" (ld. fentebb). PST-ben egyébként az zavar a legjobban, hogy nem lehet valós számosztályok osztályairól beszélni benne. Ezért bátorkodtam odatenni a bővítési javaslatot, amelyben már a kontinuum számosságú osztályok is halmazok.

3. A hatványhalmaz-axiómából nem következik közvetlenül a Cantor-paradoxon. NF-ben a nagyon nagy halmazokra nem teljesül, hogy egyenlő számosságúak lennének az egyelemű részhalmazaik halmazával. Az elmélet művelői (köztük R. H.) váltig állítják, hogy ez nem csak kibúvó, hanem intuitíve is mélyen meg van alapozva.

4. Én egyetlen esetben érzem úgy, hogy egy elmélet mögött az elsődleges motiváció az ellentmondásmentesség kicsikarása; a kétepszilonos halmazelméletnél (double extension set theory). Ott semmilyen intuitív tartalmat nem vagyok képes a fogalmak mögé képzelni. A többi esetben én azt gondolom, hogy túlzol. Egyébként éppenséggel ZF-et is szokták azzal vádolni, hogy csak egymásra hány egy csomó jól működő, de intuitíve inkoherens axiómát, szemben a jó NF-fel, amely nagyon is intuitív axiómákból indul ki. Én ezt sem osztom.

5. Ezt félve írom le: a végtelenek ZF-beli hierarchiája nekem intuitíve túl sok. Nem tudom felfogni, hogy lehetne ugyanannyi számosság, mint rendszám. Ha muszáj, elhiszem, hogy konzisztens ez az elgondolás, de nem igazán értem, hogy minek kell ragaszkodni hozzá. (Néhány technikai előnyét persze ismerem.) Nekem szimpatikusabb a Zermelo-halmazelmélet, amely ezt nem követeli meg, és nem vetném a PST szemére, hogy még ki is zárja.– Mcysh ^vita 2008. február 19., 00:41 (CET)

"valós számosztályokról" -- Hát, igen a kérdés, hogy lehet-e Dedekind-szeletekről beszélni egy másodrendű PA-ban, illetve ezek valami osztályáról. Bár, mindegy mi a kérdésre a válasz, a PA és PST kapcsolatának feltárása szerintem érdekes probléma. És persze én se leszek az, aki ezt megnézi, de add föl hallgatóknak TDK témaként. Mozo ^vita 2008. február 14., 08:28 (CET)

PA és a hzelmélet kapcsolata általában elég jól fel van tárva. A PST csak annyiban különleges, hogy egyfelől kicsi töredék, másfelől egy nagyon erős elmélet (az MK) kicsi töredéke. Az elsőrendű PA V_omega -val ekvivalens. PST V_omega-nál jóval többet tud. – Mcysh ^vita 2008. február 18., 00:31 (CET)