Vita:Mersenne-prímek

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Én letöltöttem ezt a 44-edik Mersenne prímet és nullára végződik. Ez normális? 2007. augusztus 11., 22:51 (CEST)

Hát 0-ra nem végződhet (nem sok kettő hatvány végződik egyre [elvileg összesen egy a 2^0=1], amiből egyet levonva nulla végű számot kapnánk), az enwiki szerint 1-es végződik a 44. Mersenne-prím. Üdv--Dami ^reci 2007. augusztus 11., 23:00 (CEST)

Ezért volt furcsa. De bocs, én bénáztam el. A txt jegyzettömbben ezek szerint nem nyitja meg végig, a word-ben tényleg 1-es a vége. 2007. augusztus 11., 23:04 (CEST)

eh... pedig egy nullára végződő prímszámot megnéztem volna... :D – Alensha ^üzi 2007. augusztus 12., 00:16 (CEST)

Nem nagy kunszt: 5.0 az egy prímszám, és nullára végződik. ♥♥♥: Gubb ✍ 2007. augusztus 12., 00:30 (CEST)

Komolyan gondolkoztam ezen, de más szempontból. Miért úgy definiálják a prímeket, hogy kivételeket tesznek (az 1-et kizárását külön ki kell mondani)? Az okot persze értem (az 1-et valóban nem szabad prímnek tekinteni), de szerettem volna egy olyan definíciót, amely automatikusan zárja ki az 1-et. Végül az alábbira jutottam (valójában nem a prímtulajdonság, hanem a felbonthatatlan tulajdonságára, és most maradjunk a természetes számok körében):

Felbonthatatlan számnak tekintünk olyan számot, amely nem állítható elő szorzatként tőle különböző összetevőkből.

Nézzünk példákat. A 6 nem felbonthatatlan mert $2\cdot 3$ alakban is előáll, vagyis elő tudtam állítani tőle különböző számok szorzataként. Az 5 felbonthatatlan, mert lehetséges felbontásai $5\cdot \underbrace {1\cdot \dots \cdot 1} _{n\mathrm {-szer} }$ alakúak (ahol n tetszűleges természetes szám), tehát legalább az egyik tényező 5, vagyis amit eredetileg elő akartunk állítani.

Most nézzük az elfajuló eseteket. Az 1 valóban nem felbonthatatlan, ugyanis előállítható üres szorzatként (halmazelméleti vagy algoritmuselméleti indoklás adható), és az üres szorzat egyik tényezője sem 1 (üres halmaz tagjaira tett univerzális kvantifikáció triviálisan igaz). A definíció formális alkalmazása tehát a várt eredményt hozta.

Most nézzük meg a másik érdekes elfajuló esetet , vagyisa 0-t. A 0 összes lehetéges szorzattá bontásaiban legalább az egyik tényező szükségszerűen 0, így e fenti definíció formális alkalmazása szerint a 0 felbonthatatlan.

Persze az az érvelésem önmagában csacskaság. Meegnéztem még

• a prímtulajdonság fogalmával való viszonyt (módosítás: ott is kéttényezős szorzat helyett akárhanytényezős szozatot kell mondani, akkor továbra is érvényben marad a két fogalom ekvivalenciája a természetes számok körében)
• a számelmélet alaptételével való viszonyt (itt is módosítani kell a definíciót, de "cserébe" minden természetes szám előállítható lesz felbonthatatlanok szorzataként, tehát a 0 is)

de persze kellene egy jó algebrai szemlélet is, meg a számelméletre való rálátás is, mindkettő hiányik még nálam. Szóval érvelésem hibás is lehet, ez is lehet, hogy hibátlan, de érdektelen. Kis eséllyel az is lehet, hogy algebrai kidolgozás adható neki valamilyen területen.

Nem válaszolta még Alensha eredeti kérdésére. Vajon a 0 tekinthető-e 0-ra végződő felbonthatatlannak (feltéve, hogy a fenti érvelés meglapozható). Látszólag igen, de valójában a "valamire végződő szám" szóhasználattal a helyiértékes írásmódra utalunk, ezek mögött polinomok rejlenek. A 0-val ekvivalens alak lenne a 00, és a 000 alak is, sőt az üres string is. Ha az üres stringet tekintjük valamiféle kanonikus alaknak, akkor a "nulla" mint válasz nem felel meg Alensha kérdésére (hiszen az üres string nem végződik nullára). Ha Alensha kérését úgy enyhítjük, hogy egy tízzel osztható prímet keresünk, akkor a nulla megfelelő válasz.

Mindez csak akkor igaz persze, ha a felbonthatóság és a prímtulajdonság definíciójának fentírt módosítását elfogadjuk, amelynek elbírálásához olyan algebrai szemlélet, és a számelméletre való olyan rálátás kellene, ami nekem nincs meg.

Physis 2007. augusztus 15., 23:21 (CEST)

nekem tetszik, amit leírtál, legalábbis, amit értettem belőle :) – Alensha ^üzi 2007. augusztus 15., 23:33 (CEST)

Köszönöm a biztatást. Még egy csábító dolog eszembe jutott: a Goldbach-sejtés kimondása is egyszerűbb lesz. $0=0+0$ és $2=0+2$, így a sejtés kimondásakor kihagyható a „kettőnél nagyobb” feltétel.

A számelmélet alaptétele pedig így módosulna (áthúzás: nem kell kimondani, kövér dőlt szedés: hozzá kell tenni):

Minden természetes szám kivéve a nullát egyértelműen előáll felbonthatatlanok szorzataként, ha a szorzás jól ismert tulajdonságaitól eltekintünk (ezek alatt értjük a szorzás asszociativitását, kommutativitását, és azt, hogy a 0 annihilátor elem rá nézve)

Szerintem így ökonomikusabb lett, mert „a szorzás jól ismer tulajdonságaitól eltekintő” záradékra mindkét esetben úgyis szükség van, „nagyobb nyereség” tehát, hogy a tétel minden természetes számra mondja ki állítását. Vagyis: a számelmélet alaptétele mindenképp kifejezés-fák ekvivalenciaosztályai fogalmát kénytelen használni, a különbség csak az, hogy most más ekvivalenciarelációval particionáljuk a kifejezés-fák alaphalmazát. A tétel fő állítása tehát egészében ökonomikusabb lett.

Physis 2007. augusztus 16., 07:19 (CEST)