A Vandermonde-determináns egy speciális, a lineáris algebrában és a matematika más ágaiban is gyakran használt nevezetes determináns.
Alakja:
![{\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\dots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f421417caeebeec020a4852011d72d550d0f8391)
A felírásból rögtön látszik, hogy
változóknak csaknem – előjel erejéig – szimmetrikus polinomja. Ez a kis hiányosság a szimmetriában adja voltaképp a Vandermonde-determináns diszkrét báját a csoportelméletben, mert
változóknak pontosan azok a páros permutációi, amikkel permutálva a Vandermonde-determináns argumentumait az fixen marad.
Értéke szorzattá alakítható:
![{\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{j<i}(x_{i}-x_{j}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cc5aea6f2d2e8eba809c0366b9b953bd58d42d)
Ezt az azonosságot n-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk.
Az n=2 eset
![{\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\begin{vmatrix}1&1\\x_{1}&x_{2}\\\end{vmatrix}}=x_{2}-x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c5bcdba418a57f0861e218340262eae173eb01)
nyilvánvaló.
Tegyük fel, hogy n-1-re tudjuk az állítást és adott a
![{\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}1&1&1&\dots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\dots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\dots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570a2dbff41aa55516f253166642c0dcb2c7884b)
determináns.
Az első oszlopot a további oszlopokból kivonva
adódik.
E determinánst az első sor szerint kifejtve kapjuk, hogy értéke megegyezik a következő determináns értékével:
adódik.
Az első oszlopból
-et, a másodikból
-et, … sorra kiemelve az alábbi determináns marad vissza:
Az utolsó, utolsó előtti,… sorból egymásután levonva az előző sor
-szeresét
-et kapjuk azaz
és indukciós feltevésünkkel készen vagyunk.
Felhasználva, hogy antiszimmetrikus polinom[szerkesztés]
Könnyen látható, hogy
-nek mint
polinomjának gyöke
, hiszen beírva a determináns első két sora lineárisan összefügg. Így
kiemelhető, és ezért a sajátos szimmetriából adódóan
is minden különböző i,j-re, de tekintve, hogy a
polinomjainak a gyűrűjében az
alakú polinomok, ahol
, páronként relatív prímek, ezek szorzata is kiemelhető V-ből. Mivel ennek a szorzatnak a foka
, azaz éppen V foka, egymástól csak konstans szorzóban térnek el. Hogy ezt a konstansszorzót megállapítsuk, elegendő ugyanannak a tagnak az együtthatóját megvizsgálnunk: Mindkét polinomban könnyen meghatározhatjuk
együtthatóját, ami történetesen mindkét ízben egy, így kapjuk, hogy:
. Q. E. D.
- Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
- Fuchs László: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe, Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest 1971.
- A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. 55. old.