Toroid koordináta-rendszer

A toroid koordináta-rendszer illusztrációja, ami a bipoláris koordináta-rendszerből a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatásával származtatható. A fókuszok távolsága 1 a függőleges z-tengelytől. A piros gömb a σ = 30° koordinátának megfelelő koordinátafelület, a kék tórusz a τ = 0,5 koordinátafelület, a sárga félsík a φ = 60° koordinátafelület. A zöld félegyenes az a félegyenes, amitől a φ szög számítva van. A fekete pont a három felület közös metszéspontja, melynek descartes-koordinátái megközelítően (0,96; −1,725; 1,911)

A toroid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatásával származtatható. Ezzel a két fókusz, $F_{1}$ és $F_{2}$ egy $a$ sugarú gyűrűvé alakul az $xy$ síkban, melyre merőleges a forgatás z tengelye.

Definíció

A $(\tau ,\sigma ,\phi )$ toroid koordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\ {\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$

$y=a\ {\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$

$z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

és $\mathrm {sign} (\sigma )=\mathrm {sign} (z$). Egy $P$ pont $\sigma$ koordinátája megegyezik az $F_{1}PF_{2}$ szöggel, és a $\tau$ koordináta a fókuszgyűrű két oldalától mért $d_{1}$ és $d_{2}$ távolságok hányadosának természetes logaritmusával:

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$

A koordináták nagysága: $-\pi <\sigma \leq \pi$ és $\tau \geq 0$ és $0\leq \phi <2\pi .$

Inverz transzformáció

A fenti toroid koordináta-rendszer ebből a bipoláris koordináta-renfdszerből származtatható a függőleges tengely körüli forgatással. A függőleges tengelyen elhelyezkedő körökből lesz a fenti piros gömbök, míg a vízszintes tengely mentén elhelyezkedő kék körökből tóruszok lesznek

A $(\sigma ,\tau ,\phi )$ koordináták a következőképpen számíthatók az (x, y, z) Descartes-koordintákból:

a $\phi$ azimut:

$\operatorname {tg} \phi ={\frac {y}{x}}$

a $\rho$ hengersugár:

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}$

és a $\phi$ által definiált síkban a távolságok:

$d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}$

$d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}$

A $\tau$ koordináta megegyezik a fókuszoktól mért távolságok hányadosának természetes logaritmusával:

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

ahol $|\sigma |$ a fókuszoktól mért sugarak szögével, és a koszinusztétellel számítható:

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.$

Vagy explicit, előjellel együtt:

$\sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}$

ahol $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$.

Skálázási tényezők

Egy P pont σ és τ koordinátáinak geometriai értelmezése. Egy konstans $\phi$ azimuthoz tartozó síkban a toroid koordináta-rendszer ekvivalens a bipoláris koordináta-rendszerrel. A σ szöget a két fókusz és a P pont alkotja, míg τ a fókuszoktól mért távolságok arányának logaritmusa. A σ és τ konstansoknak megfelelő körök rendre pirossal, illetve kékkel ábrázolva, és derékszögben metszik egymást, amit magenta doboz jelöl

A $\sigma$ és a $\tau$ slkálázási tényezői egyenlőek:

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

és az azimut skálázási tényezője:

$h_{\phi }={\frac {a\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

Így az infinitezimális térfogatelem:

$dV={\frac {a^{3}\operatorname {sh} \tau }{\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

Differenciáloperátorok

A Laplace-operátor: $${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\operatorname {sh} \tau }}&\left[\operatorname {sh} \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\operatorname {sh} \tau \left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$$

Egy $${\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },$$ vektormező esetén a vektor Laplace-operátor:

$${\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\operatorname {sh} ^{4}\tau +(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\operatorname {sh} \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\operatorname {sh} \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\operatorname {ch} ^{2}\tau +1-2\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\operatorname {sh} \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\operatorname {sh} ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\operatorname {sh} \tau (\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\operatorname {sh} \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\operatorname {sh} \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau ,\phi )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Harmonikus függvények

Standard szétválasztás

A háromváltozós $\nabla ^{2}\Phi =0$ Laplace-egyenlet megoldható a változók szétválasztásával a toroid koordináta-trendszerben. Ha elvégezzük az $\Phi =U{\sqrt {\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$ helyettesítést, akkor szétválasztható egyenletet kapunk. Egy partikuláris megoldás:

$\Phi ={\sqrt {\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )$

ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\operatorname {ch} \tau )\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\operatorname {ch} \tau )$

$V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }$

ahol P és Q első- és másodfajú asszociált Legendre-függvények. Ezekre a Legendre-függvényekre gyakran hivatkoznak úgy, mint Legedre-harmonikusokra.

A toroid harmonikusoknak több érdekes tulajdonságuk van. Elvégezve a $z=\operatorname {ch} \tau >1$ helyettesítést, akkor például a $\mu =0$ eltűnési renddel és a $\nu =0$ esetben:

$Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)$

és

$P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)$

ahol $\,\!K$ és $\,\!E$ rendre első- és másodfajú elliptikus integrálok. A többi toroid harmonikus kifejezhető teljes elliptikus integrálokkal.

Egy klasszikus alkalmazás a differenciálegyenletek megoldása, köztük Laplace egyenletéé, ami szétválasztható a toroid koordináta-rendszerben. A Helmholtz-egyenlet ezzel szemben nem választható szét a toroid koordináta-rendszerben. Tipikus példák egy vezető gyűrű vagy elfajult esetben egy vezető kör elektromos mezeje és potenciálja.

Alternatív szétválasztás

Egy alternatív helyettesítés: (Andrews 2006)

$\Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}$

ahol

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}.$

Ezzel ismét egy szétválasztható egyenlethez jutunk. A változók szétválasztásával:

$\Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )$

ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\operatorname {cth} \tau )\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\operatorname {cth} \tau )$

$V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.$

Habár itt ugyanazok a harmonikus függvények jelennek meg, most az argumentum $\operatorname {cth} \tau$ $\operatorname {ch} \tau$ helyett, és $\mu$ és $\nu$ indexei megcserélődtek. Ez hasznos, hogyha a peremfeltételek függetlenek a $\theta$ szférikus szögtól, például egy töltött gyűrű, két párhuzamos sík vagy egy végtelen félsík. A hiperbolikus koszinuszt vagy hiperbolikus kotangenst argumentumában tartalmazó toroid harmonikusokhoz kapcsolódó azonosságokat a Whipple-képletek tartalmazzák.

Források

• Byerly, W E. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264–266
• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists, 2nd, Orlando, FL: Academic Press, 112–115. o. (1970) 
• Andrews, Mark (2006). „Alternative separation of Laplace's equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics”. Journal of Electrostatics 64 (10), 664–672. o. DOI:10.1016/j.elstat.2005.11.005. 
• Hulme, A. (1982). „A note on the magnetic scalar potential of an electric current-ring”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 92 (1), 183–191. o. DOI:10.1017/S0305004100059831. 
• Morse P M, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw–Hill, 666. o. (1953) 
• Korn G A, Korn T M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 182. o. (1961) 
• Margenau H, Murphy G M. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 190–192. o. (1956) 
• Moon P H, Spencer D E. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed., 3rd revised printing, New York: Springer Verlag, 112–115 (Section IV, E4Ry). o. (1988). ISBN 978-0-387-02732-6 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Toroidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.