Racionális számok

A matematikában racionális számnak (hányados- vagy vegyes-törtszámnak) nevezzük két tetszőleges egész szám hányadosát, amelyet többnyire az a/b alakban írunk fel, ahol b nem nulla.

Egy racionális számot végtelen sok alakban felírhatunk, például ${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$. A legegyszerűbb, azaz tovább nem egyszerűsíthető alak akkor áll elő, amikor a és b relatív prím. Minden racionális számnak pontosan egy olyan tovább nem egyszerűsíthető alakja van, ahol a nevező pozitív (irreducibilis tört).

A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos (tehát a felírásban egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétlődik). Ez az állítás nem csak a tízes-, hanem tetszőleges, egynél nagyobb, egész alapú számrendszerben való felírásra igaz. A tétel fordítottja is igaz: ha egy szám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban, akkor az racionális szám.

Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak, irracionális számoknak nevezzük.

A racionális számok halmazát tipográfiailag kiemelt Q (vagy $\mathbb {Q}$) betűvel jelöljük (a latin quotiens (hányszor?), illetve az angol quotient (hányados) szóból). Halmazdefinícióként felírva:

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}$

Törtek, törtszámok és racionális számok

A racionális szám a hétköznapi szóhasználatban, illetve az elemi matematika területén használt tört v. törtszám fogalmának egy precízebb változata. Egy számot racionálisnak nevezünk, ha felírható a/b tört alakban, ahol a és b is egész számok. A gyakorlatban a "racionális szám" kifejezés általában helyettesíthető a "tört(szám)" fogalmával. Elméletben, köszönhetően a matematika általánosságra és precízségre törekvésének, ugyanakkor a két fogalom nem ugyanaz.

Egyrészt a "tört" jóval általánosabb fogalom, a számok felírásának formáját és nem feltétlenül az értéküket írja le. Törteket lehet pl. kifejezésekből vagy függvényekből (vagy akár irracionális számokból) is készíteni. Ezért "tört" helyett rögtön szükségessé válik a pontosabb "törtszám" kifejezés. A tankönyvek általában úgy definiálják ezeket, mint olyan a/b alakú törteket, ahol a,b egészek, és a nem osztható maradék nélkül b-vel (ezek tehát olyan racionális számok, melyek nem egészek).

További gond, hogy az egész számok is felírhatóak törtek alakjában, ráadásul végtelen sokféle módon (pl. 2= 2/1 = 4/2 = 6/3 = ... ), tehát algebrai, formális értelemben az egész számok is tekinthetőek "törteknek" v. "törtszámoknak" (habár nem tekintjük őket annak). Másrészt (és a például adott egyenlőségeket a másik oldaláról nézve), a törtek értéke is lehet egész szám. Tehát a "tört" fogalom nem eléggé precíz, többféleképp is félreérthető, amennyiben olyankor kell használni, amikor a cél a számok nem egész voltának kihangsúlyozása. Ezért szükséges a pontosabb „törtszám” kifejezés használata. Ez utóbbi előnye, hogy a hétköznapi szóhasználatban is meglévő és az egész számok kiterjesztésében logikusan fellépő kifejezés, a szigorúbb vizsgálat azonban megmutatja, hogy bár a félreértések egy részének kiküszöbölésére alkalmas, még mindig többféleképp félreérthető.

A matematika több ágában, így pl. a diofantikus approximációk elméletében, ugyanakkor sok esetben kényelmesebb az egészekről és a törtszámokról egy kifejezéssel beszélni, őket egy kategóriába sorolni (az egészek és a törtszámok között sokkal kisebb az elméleti törés, sokkal több a hasonlóság, mint a törtek és az irracionális számok között). Így szükség van egy olyan kifejezésre, ami alá az egészek és a törtszámok is tartoznak, viszont kifejezések, függvények stb. nem. Így jutunk (pontosabban ezért juthatunk) a "racionális szám" fogalmához.

Aritmetika

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

 

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

 

Két racionális szám, ${\frac {a}{b}}$ és ${\frac {c}{d}}$ akkor és csak akkor egyenlők, ha $ad=bc.$

A racionális számoknak létezik additív és a nullától különbözőknek multiplikatív inverze:

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}$

 

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ ha }}a\neq 0$

A tovább nem egyszerűsíthető alak:

${\frac {c}{d}}\;:=\;{\frac {a\div e}{b\div e}}$

ahol

$e:=\operatorname {sgn}(b)\cdot \operatorname {abs} {\bigl (}\operatorname {lnko} (a,b){\bigr )}$,

$\operatorname {lnko} (a,b)$ az $a,b$ egész számok legnagyobb közös osztója, ami kiszámítható például euklideszi algoritmussal. Ha $n$ egész szám, akkor tovább nem egyszerűsíthető tört alakja ${\tfrac {n}{1}}.$

Rendezés

A racionális számok rendezése megadható úgy, mint:

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}\qquad :\Longleftrightarrow \qquad a\operatorname {sgn}(b)\operatorname {abs} (d)<\operatorname {abs} (b)c\operatorname {sgn}(d)$

ahol $<$ az egész számok szokásos rendezése, $\operatorname {sgn}$ a szignumfüggvény és $\operatorname {abs}$ az abszolútérték. A bővítés és az egyszerűsítés nincs hatással az összehasonlításra. Ez a rendezés az egész számok rendezésének kiterjesztése, ugyanis $b=\operatorname {sgn}(b)=\operatorname {abs} (b)=d=\operatorname {sgn}(d)=\operatorname {abs} (d)=1$.

Ha két pár ekvivalens, akkor sem ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$     sem     ${\frac {c}{d}}<{\frac {a}{b}}$ nem teljesül. A rendezés egyik alaptulajdonsága a trikhotómia:

• ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$
• ${\frac {a}{b}}\sim {\frac {c}{d}}$
• ${\frac {c}{d}}<{\frac {a}{b}}.$

Ezzel $(\mathbb {Q} ,<)$ teljesen rendezett halmaz.

Ezen a rendezésen alapul a racionális számok definíciója Dedekind-szeletekkel.

Történetük

Egyiptomi törtek

Minden pozitív racionális szám felírható véges sok különböző pozitív egész reciprokának összegeként. Például:

${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}$

Sőt, minden pozitív racionális számnak végtelen sok ilyen formájú, különböző felírása lehetséges. Ezt az alakot egyiptomi törtnek is nevezzük, mivel már az ókori Egyiptomban is használták, akik egyébként a diadikus törteket is a maitól eltérő alakban írták le.

Formális definíció

A racionális számok precízen egész számok rendezett párjaként definiálhatók: $\left(a,b\right)$ ahol b nem nulla. Az összeadást és szorzást ezeken a párokon a következőképp definiáljuk:

$\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)$

$\left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)$

Annak érdekében, hogy teljesüljön az elvárt ${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ tulajdonság, definiálni kell egy ekvivalenciarelációt is ($\sim$) a következőképpen:

$\left(a,b\right)\sim \left(c,d\right)\Leftrightarrow ad=bc$

Ez az ekvivalenciareláció kompatibilis a fent definiált összeadással és szorzással. Legyen ezután Q az ekvivalenciaosztályok halmaza, más szóval azonosnak tekintjük az (a, b) és a (c, d) párt, ha ekvivalensek. (Ez a konstrukció elvégezhető minden integritástartomány esetében, lásd hányadostest.)

Az így kapott számok halmazán a teljes rendezés is definiálható:

$\left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)\Leftrightarrow (bd>0\wedge ad\leq bc)\vee (bd<0\wedge ad\geq bc)$

A racionális számok halmaza tartalmaz az egész számokkal ekvivalens halmazt: a$z\in \mathbb {Z}$ egész számhoz ${\tfrac {z}{1}}$ rendelhető. Ezt úgy szokták kifejezni, hogy az egész számok is racionálisak.

Tulajdonságok

A racionális számok halmaza ($\mathbb {Q}$) az összeadás és a szorzás műveletével testet alkot. Ez a test az egész számok ($\mathbb {Z}$) hányadosteste. A legszűkebb test, ami tartalmazza a természetes számokat, mivel $\mathbb {Z}$ a legszűkebb gyűrű, ami tartalmazza a természetes számokat.

A racionális számok halmaza a legszűkebb 0 karakterisztikájú test. Minden egyéb 0 karakterisztikájú test tartalmazza a racionális számok testének egy izomorf képét. A valós számok prímteste is, és mint prímtest, merev, azaz automorfizmuscsoportja egyelemű.

A racionális számok algebrai lezártja (azaz a racionális együtthatós polinomok gyökeit is tartalmazó legszűkebb test) az algebrai számok halmaza.

A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, vagyis sorozatba rendezhető. Ez azt jelenti, hogy $\mathbb {Q}$ és $\mathbb {N}$ egy-egyértelműen megfeleltethető egymásnak, azaz minden $q$ racionális számhoz rendelhető egy $n$ természetes szám, és megfordítva. Ilyen sorozatokat lehet alkotni Cantor első átlós érvével vagy a Stern-Brocot-fával. Mivel a valós számok számossága ennél nagyobb, így mondhatjuk, hogy a valós számok túlnyomó többsége irracionális.

A sűrűség ellenére nincs olyan valós-valós függvény, ami csak a racionális számokon folytonos. Ezzel szemben van olyan, ami az irracionális számokon folytonos, de a racionálisokon nem.

A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke nulla.

A racionális számok sűrűn rendezett halmazt alkotnak: bármely két különböző racionális szám között van egy harmadik, (és így végtelen sok). Jelölje a két adott számot ${\tfrac {a}{b}}$ és ${\tfrac {c}{d}}$! Ekkor a számtani közepük is racionális:

${\frac {ad+bc}{2bd}}$.

A sűrűség azt is jelenti, hogy bármely racionális szám tetszőlegesen pontosan közelíthető racionális számokkal. A rendezett halmazok között pontosan a racionális számok halmaza (meg a vele izomorfak) azok, amelyek megszámlálhatóak, sűrűn rendezettek és nincs legkisebb vagy legnagyobb elemük (Georg Cantor tétele).

Egy valós szám racionális, ha algebrailag elsőfokú. Ezzel a racionális számok az algebrai számok $\mathbb {A}$ testének részhalmaza.

Osztó algoritmusok

A racionális számok tört alakja egy el nem végzett osztás formájában ábrázolja a számot. A tiszta matematika számára általában elég is ez az ábrázolás, legfeljebb tovább nem egyszerűsíthető alakra hozásra van igény. Ha azonban több számmal kell összeadást, kivonást vagy összehasonlítást végezni, akkor érdemes a számokat közös nevezőre hozni. Ezekhez a műveletekhez lehet a számokat vegyes tört alakban ábrázolni, és csak a törtrészt közös nevezőre hozni. A vegyes tört alakra hozás a maradékos osztás elvégzésének felel meg.

Az osztást akkor tekintik elvégzettnek, ha egy helyi értékes számrendszerben meghatározták a szám (egy alakjának) összes számjegyét. Ehhez az osztást elég egy periódusig vinni, hiszen a racionális számok végtelen szakaszos tizedestörtek. Ehhez az algoritmusok három csoportját alkották meg:

• Írásbeli algoritmusok
• Számítógépes algoritmusok:

• Rögzített hosszúságú számokra
• Tetszőleges hosszúságú számokra.

Az utóbbira példák:

• SRT-osztás
• Goldschmidt-osztás
• Newton-Raphson-osztás

Az utóbbi két algoritmus a nevező reciprokát veszi, amit megszoroz a számlálóval. Ezeket az eljárásokat rögzített hosszúságú számokra is használják. Például az SRT-osztást használták az Intel Pentium processzoraihoz, de hiba csúszott a megvalósításba.

Tizedestört alak

A valós számoknak van tizedestört alakjuk. A racionális számok ezek közül a szakaszos tizedestörtek. Az irracionális számok tizedestört alakja nem periodikus.

A véges tizedestörtek pontosan azok, ahol a tovább nem egyszerűsíthető tört vagy áltört alak nevezője osztója az alap valamelyik hatványának. Ekvivalensen, a nevező prímtényezői az alap prímtényezői közül kerülnek ki. A véges tizedestörtek is szakaszos tizedestörtek; a véges rész az előszakasz, a periódus nulla számjegyből áll. A tizedestört alak nem mindig egyértelmű; a véges tizedestörtként írható racionális számoknak van egy másik tizedestört alakjuk is, ami megkapható a véges tizedestört alak utolsó számjegyét eggyel csökkentve, utána a szakaszt csupa kilencessel kitöltve. Lásd: 0,999…

Hasonlósak érvényesek más, $g\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}$ egész alapú számrendszerben, ahol a kilencesek szerepét az alapnál eggyel kisebb számjegy veszi át. A periódust vagy felülvonással, vagy két ponttal jelzik.

Példák:

${\tfrac {1}{3}}$	$=0{,}{\overline {3}}$	$=0{,}33333\dotso$	$=\left[0{,}{\overline {01}}\right]_{2}$
${\tfrac {9}{7}}$	$=1{,}{\overline {285714}}$	$=1{,}285714\ 285714\dotso$	$=\left[1{,}{\overline {010}}\right]_{2}$
${\tfrac {1}{5}}$	$=0{,}2{\overline {0}}=0{,}1{\overline {9}}$	$=0{,}20000\dotso =0{,}19999\dotso$	$=\left[0{,}{\overline {0011}}\right]_{2}$
${\tfrac {1}{2}}$	$=0{,}5{\overline {0}}=0{,}4{\overline {9}}$	$=0{,}50000\dotso =0{,}49999\dotso$	$=\left[0{,}1{\overline {0}}\right]_{2}=\left[0{,}0{\overline {1}}\right]_{2}$
$1={\tfrac {1}{1}}$	$=1{,}{\overline {0}}=0{,}{\overline {9}}$	$=1{,}00000\dotso =0{,}99999\dotso$	$=\left[1{,}{\overline {0}}\right]_{2}=\left[0{,}{\overline {1}}\right]_{2}$

Az Euler–Fermat-tétel szerint, ha a nevező $n\in \mathbb {N} _{>1}$, és hozzá az alap $g\in \mathbb {N}$ relatív prím, akkor

$g^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$

ahol $\varphi$ az Euler-féle phi-függvény. Az $1/n$ szakaszának hossza megegyezik az $l:=\operatorname {ord} _{n}(g)$ renddel, ahol $\left[g\right]$ maradékosztály a $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ modulo $n$ maradékosztálygyűrűjének $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ prím maradékosztályában. Lagrange tétele szerint $l$ osztója a csoport $\varphi (n)$ rendjének. Az

$x:=(g^{l}-1)/n$

pozitív egész $<g^{l}$, és $1/n$ $g$ alapú bázisba fejtve kapott jegyei a $g$-adikus ábrázolásban ugyanezek a jegyek köszönnek vissza:

$x\cdot \sum _{i=1}^{\infty }\left(g^{l}\right)^{-i}={\frac {x}{g^{l}-1}}={\frac {1}{n}}$

Például a fenti táblázatban az 1/3 periódushossza a tízes alapú bázisban $\operatorname {ord} _{3}(10)=1$, és jegyeinek sorozata $x={\overline {3}}$. Kettes alapú számrendszerben a szakasz hossza $\operatorname {ord} _{3}(2)=2$, és a jegyek sorozata $x={\overline {01}}$.

Egy adott $n>1$ nevező esetén a szakasz hossza pontosan akkor $l:=\operatorname {ord} _{n}(g)=\varphi (n)$, ha $g$ primitív gyök modulo $n$. Primitív gyök akkor van, ha az $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ prím maradékosztálycsoport ciklikus, azaz ha $n\in \{2,4,p^{r},2p^{r}\;\;|\;\;2<p\in \mathbb {P} ;\;r\in \mathbb {N} \}.$ Különben a periódus hossza $\varphi (n)$ valódi osztója.

Az alábbi táblázat $g=2,3,5$ és $10$ esetét mutatva azt a benyomást kelti, hogy a maximális szakaszhossz gyakori. Például a $n=7,17,19,23,29$ prímszámok reciprokainak szakaszhossza $\varphi (n)=n-1=6,16,18,22,28$. A $n=12,15,21,33,35$ összetett számok esetén a maximális hossz $\operatorname {ord} _{n}(g)\leq \varphi (n)/2$. A $\varphi (n)$ hosszú periódusok ki vannak emelve. A legrosszabb eset ${\mathcal {O}}(n)$, míg átlagos esetben az $n$ szám $\scriptstyle \operatorname {len} _{g}(n)$ hossza a $g$ alapú számrendszerben ${\mathcal {O}}(\log n)$. A 802787 prímszám reciprokának periódushossza kettes számrendszerben 802786, tízes számrendszerben 401393. Ez túl sok ahhoz, hogy a táblázatban szerepeljen.

$\textstyle n$	3	5	7	9	11	12	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	802787
$\textstyle \varphi (n)$	2	4	6	6	10	4	12	8	16	18	12	22	20	18	28	30	20	24	36	802786
$\textstyle \operatorname {ord} _{n}(2)$	2	4	3	6	10	–	12	4	8	18	6	11	20	18	28	5	10	12	36	802786
$\scriptstyle \operatorname {len} _{2}(n)$	2	3	3	4	4	–	4	4	5	5	5	5	5	5	5	5	6	6	6	20
$\textstyle \operatorname {ord} _{n}(3)$	–	4	6	–	5	–	3	–	16	18	–	11	20	–	28	30	–	12	18	401393
$\scriptstyle \operatorname {len} _{3}(n)$	–	2	2	–	3	–	3	–	3	3	–	3	3	–	4	4	–	4	4	13
$\textstyle \operatorname {ord} _{n}(5)$	2	–	6	6	5	2	4	–	16	9	6	22	–	18	14	3	10	–	36	802786
$\scriptstyle \operatorname {len} _{5}(n)$	1	–	2	2	2	2	2	–	2	2	2	2	–	3	3	3	3	–	3	9
$\textstyle \operatorname {ord} _{n}(10)$	1	–	6	1	2	–	6	–	16	18	6	22	–	3	28	15	2	–	3	401393
$\scriptstyle \operatorname {len} _{10}(n)$	1	–	1	1	2	–	2	–	2	2	2	2	–	2	2	2	2	–	2	6

Valós számok

A racionális számok a valós számok halmazának sűrű részhalmazát alkotják, azaz minden valós számhoz tetszőlegesen közel vannak racionális számok. Ugyancsak igaz, hogy a racionális számok pontosan a véges lánctört formájában írható valós számok.

Mivel rendezett halmazt alkotnak, a racionális számokat elláthatjuk a rendezéstopológiával. Ez azonos a valós számok rendezéstopológiájának altértopológiájával, továbbá egyben metrikus tér is, a következő metrikával: $d\left(x,y\right)=|x-y|$.

E topologikus tér a műveletekkel topologikus testet alkot. A racionális számok topológiája nem lokálisan kompakt. Ez a tér úgy is jellemezhető, hogy az egyetlen megszámlálható metrikus tér, amiben nincsenek izolált pontok. A tér továbbá teljesen széteső. A racionális számok tere nem teljes, teljes lezártja a valós számok tere.

p-adikus számok

A fent említett, a szokásos abszolút értékből definiált metrikán kívül vannak más, nem kevésbé fontos metrikák is, amelyek $\mathbb {Q}$-t topologikus testté szervezik:

legyen $p$ tetszőleges prímszám, definiáljuk minden nemnulla egész $a$ esetén $\vert a\vert _{p}=p^{-n}$-t, ahol $n$ $p$ legnagyobb hatványának kitevője, ami osztja $a$-t; legyen továbbá $\vert 0\vert _{p}=0$. Tetszőleges ${\frac {a}{b}}$ racionális szám esetén legyen $\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {\vert a\vert _{p}}{|b|_{p}}}$.

Ekkor $d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}$ metrikus teret definiál $\mathbb {Q}$-n. Ez a tér, $\left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)$ nem lesz teljes, teljes burka a p-adikus számok $\mathbb {Q} _{p}$ teste lesz.

Források

• A racionális számok a MathWorld-ön

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rationale Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.