Hányadostest

Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritástartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

Motiváció

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a $(6,42)$ ekvivalens az $(5,35)$-tel, mert a ${\frac {6}{42}}$ és a ${\frac {5}{35}}$ egyaránt ${\frac {1}{7}}$-re egyszerűsödik.
3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre. Például az $(1,2)$-t tartalmazó ekvivalenciaosztály és a $(3,4)$-et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az $(5,4)$-et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a $(3,8)$-at tartalmazó ekvivalenciaosztály. Hasonló példa, amelyben az egyszerűsítés lehetősége is fellép: $(1,6)+(1,3)=(3,6)=(1,2)$, és $(1,6)(1,3)=(1,18)$.
4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciója

Legyen $\mathbb {I}$ egy integritási tartomány és jelölje $\mathbb {T} ^{*}$ az $\mathbb {I}$ elemeiből alkotott $(a,b)$ rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy $b\neq 0$. $\mathbb {T} ^{*}$ elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy $(a,b)\sim (c,d)$ akkor és csak akkor, ha $ad=bc$ (az $\mathbb {I}$-ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát $\mathbb {T}$-vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt $a \over b$-vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy $\mathbb {T}$ elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

1. Tetszőleges ${a \over b},\,{c \over d}\in \mathbb {T}$-re ${a \over b}*{c \over d}={\frac {ac}{bd}}$. Az így definiált szorzás egységeleme az $a \over a$ ekvivalenciaosztály (tetszőleges $a\neq 0$ elemre).
2. Tetszőleges ${a \over b},\,{c \over d}\in \mathbb {T}$-re ${a \over b}+{c \over d}={\frac {ad+bc}{bd}}$. Az így definiált összeadás nulleleme a $0 \over a$ ekvivalenciaosztály (tetszőleges $a\neq 0$ elemre).
3. Tetszőleges ${a \over b}\in \mathbb {T}$ additív inverze ${\frac {-a}{b}}$.
4. Ha $a\neq 0$, ${a \over b}\in \mathbb {T}$ multiplikatív inverze ${\frac {b}{a}}$.

Az így konstruált $\mathbb {T}$ testet $\mathbb {I}$ hányadostestének nevezzük.

Vegyük észre, hogy $\mathbb {I}$-ben nem feltétlenül van egységelem, de ez nem befolyásolja a konstrukciót. Konkrét példaként ha $\mathbb {I} =2\mathbb {Z}$, a páros számok integritástartománya, akkor a keletkező $\mathbb {T}$ hányadostest a racionális számok teste, amelyben ${\frac {2}{2}}$ az egységelem.

Tulajdonságai

$\mathbb {T}$ tartalmazza $\mathbb {I}$ izomorf képét ($a\leftrightarrow {a \over 1}$ természetes megfeleltetést ad $a\in \mathbb {I}$ és ${a \over 1}\in \mathbb {T}$) között. $\mathbb {T}$ a legszűkebb olyan test, amelybe $\mathbb {I}$ beágyazható.

$\mathbb {I}$ (az izomorfizmus erejéig) egyértelműen meghatározza $\mathbb {T}$-t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. (Például a racionális számok teste hányadosteste az egész számoknak is és a páros számoknak is.) Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

$\mathbb {I}$ és $\mathbb {T}$ karakterisztikája megegyezik. Ha $\mathbb {I}$ végtelen, akkor $\mathbb {I}$ és $\mathbb {T}$ számossága is megegyezik, hiszen $\mathbb {T}$ számosságának alsó korlátja $\mathbb {I}$ számossága, és felső korlátja az $\mathbb {I}$ elemeiből képzett rendezett párok halmazának számossága, amely végtelen halmazok esetén megegyezik $\mathbb {I}$ számosságával.

Példák

• Amint feljebb láttuk, ha $\mathbb {I} =\mathbb {Z}$, akkor $\mathbb {T} =\mathbb {Q}$.
• Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

Általánosítások

A hányadostest-konstrukció speciális esete a lokalizációnak: ebben a konstrukcióban a nevezőkben az elemeknek csak egy multiplikatívan zárt részhalmazát engedjük meg. A lokalizáció integritási tartományok helyett bármely kommutatív gyűrűre értelmezhető. Ha az imént említett részhalmaz a gyűrű összes nemzéróosztójából áll, akkor teljes hányadosgyűrűről beszélünk. Speciálisan egy integritási tartomány teljes hányadosgyűrűje a hányadostest.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• ↑ Stacks: A Stacks project szerzői: The Stacks project. stacks.math.columbia.edu (2021)

További információk

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. dtk.tankonyvtar.hu (2011) arch Digitális Tankönyvtár.