Szerkesztő:TWiStErRob/Kalk

Feladat: $xdy-(y^{3}-y)dx=0$ és $y(2)=1$ kezdeti érték.
$xdy=(y^{3}-y)dx$
Itt a következő lépés az lenne, hogy leosztok $y^{3}-y$-nal, de itt meg kell vizsgálni a következőt:
$y^{3}-y\neq 0$
$y(y^{2}-1)\neq 0$
Ebből: $y\neq 0$ és $y\neq \pm 1$
Tehát a további vizsgálatot nem folytathatom, mivel a kezdeti érték y = 1
Az $y\equiv 0$ és $y\equiv \pm 1$ függvények megoldásai az diffegyenletnek, ebből nekünk az $y\equiv 1$ függvény kell a kezdeti érték miatt.

Feladat (félrenézett): $xdy-(y^{3}+y)dx=0$ és $y(2)=1$ kezdeti érték.
Átalakításokkal eljutsz: ${\frac {dy}{y^{3}+y}}={\frac {dx}{x}}$ alakhoz.
$\int {\frac {1}{y^{3}+y}}\,dy=\int {\frac {1+y^{2}-y^{2}}{y(y^{2}+1)}}\,dy=\int {\frac {1+y^{2}}{y(y^{2}+1)}}-{\frac {y^{2}}{y(y^{2}+1)}}\,dy=\int {\frac {1}{y}}-{\frac {y}{y^{2}+1}}\,dy$
Majd $u=y^{2}+1,du=2ydy$ helyettesítéssel:
$\ln \vert y\vert -{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln \vert y\vert -{\frac {1}{2}}\ln \vert u\vert +\ln c=\ln \vert y\vert -{\frac {1}{2}}\ln \vert y^{2}+1\vert +\ln c,c\in \mathbb {R} ^{+}$
Tehát
$\ln \vert y\vert -{\frac {1}{2}}\ln \vert y^{2}+1\vert +\ln c=\ln \vert x\vert$
$\ln \vert y\vert -\ln {\sqrt {y^{2}+1}}+\ln c=\ln \vert x\vert$
$\ln {\bigg |}{\frac {cy}{\sqrt {y^{2}+1}}}{\bigg |}=\ln \vert x\vert$
${\bigg |}{\frac {cy}{\sqrt {y^{2}+1}}}{\bigg |}=\vert x\vert$
Behelyettesítve $y(2)=1;(x=2,y=1)$:
${\bigg |}{\frac {1c}{\sqrt {1^{2}+1}}}{\bigg |}=\vert 2\vert \rightarrow c=2{\sqrt {2}}$
${\sqrt {\frac {(2{\sqrt {2}})^{2}y^{2}}{y^{2}+1}}}=\vert x\vert$
${\sqrt {\frac {8y^{2}}{y^{2}+1}}}=\vert x\vert$
${\frac {8y^{2}}{y^{2}+1}}=x^{2}$
$1-{\frac {1}{y^{2}+1}}={\frac {x^{2}}{8}}$
${\frac {1}{y^{2}+1}}=1-{\frac {x^{2}}{8}}$
${\frac {1}{y^{2}+1}}={\frac {8-x^{2}}{8}}$
$y^{2}+1={\frac {8}{8-x^{2}}}$
$y^{2}={\frac {8}{8-x^{2}}}-1$
$y^{2}={\frac {8}{8-x^{2}}}-{\frac {8-x^{2}}{8-x^{2}}}$
$y^{2}={\frac {-x^{2}}{8-x^{2}}}$
$y={\sqrt {\frac {-x^{2}}{8-x^{2}}}}$