Szerkesztő:Sajoka/piszkozat

Összefoglalva

${\begin{aligned}&A{{z}_{_{.}}}a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d={{0}_{_{.}}}{\acute {a}}ltal{\acute {a}}no{{s}_{_{.}}}harmadfok{{\acute {u}}_{_{.}}}egyenle{{t}_{_{.}}}a{{z}_{_{.}}}{{\left(x=X-{\frac {b}{3a}}\right)}_{_{.}}}helyettes{\acute {i}}t{\acute {e}}ssel\\&{{X}^{3}}+\overbrace {\frac {27{{a}^{2}}c-9a{{b}^{2}}}{27{{a}^{3}}}} ^{A}X+\overbrace {\frac {2{{b}^{3}}-9abc+27{{a}^{2}}d}{27{{a}^{3}}}} ^{B}={{0}_{_{.}}}form{\acute {a}}r{{a}_{_{.}}}hozhat{\acute {o}}\\&\\&A{{z}_{_{.}}}{{X}^{3}}+AX+B={{0}_{_{.}}}t{\acute {i}}pus{{\acute {u}}_{_{.}}}egyenle{{t}_{_{.}}}gy{\ddot {o}}ke{{i}_{_{.}}}pedig:\\&\\&\left.{\begin{aligned}&{{X}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}\\&{{X}_{2,3}}=-{\frac {1}{2}}\left({{y}_{1}}+{{y}_{2}}\right)\pm {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\left({{y}_{1}}-{{y}_{2}}\right)\\\end{aligned}}\right\}aho{{l}_{_{.}}}{{y}_{1,2}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {{{\left({\frac {B}{2}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {A}{3}}\right)}^{3}}}}}}\\\end{aligned}}$

$jel{\ddot {o}}l{\acute {e}}s:\Delta ={{\left({\frac {B}{2}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {A}{3}}\right)}^{3}}$

Tehát, ha a gyökvonás elvégezhető, akkor az egyenletnek mindig egy valós, és két konjugált komplex (egymás tükörképei) megoldása lesz.

Ha viszont $\Delta <0$ akkor másképp kell számolni, és az eredmény mindig valós lesz:

$\left.{\begin{aligned}&{{X}_{1}}=-2\cdot \operatorname {sgn} \left(B\right)\cdot {\sqrt {-{\frac {A}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}arctg{\frac {2{\sqrt {-\Delta }}}{B}}\right)\\&\\&{{X}_{2,3}}=-2\cdot \operatorname {sgn} \left(B\right)\cdot {\sqrt {-{\frac {A}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{3}}\pm {\frac {1}{3}}arctg{\frac {2{\sqrt {-\Delta }}}{B}}\right)\\\end{aligned}}\right\}$ ahol "sgn" a Szignumfüggvényfüggvény(egy valós szám előjelét adja meg).

Mindezt visszahelyettesítve, az általános harmadfokú egyenlet megoldásai:

${{x}_{1,2,3}}=-{\frac {b}{3a}}+{{X}_{1,2,3}}$