Szerkesztő:Ragacs/munka

A paradoxon feloldása a klasszikus valószínűség-számítás alapfogalmai, és érvényes módszerei segítségével

A paradoxon lényegének jelen formában való bemutatása, mint a szócikk elején olvasható, a klasszikus valószínűség-számítás módszereivel, valamint alapvető matematikai evidenciák felhasználásával történt.

1. A leírásban először felvázoltuk az alapszituációt. Definiáltuk A-t.
2. Meghatározásra került a két lehetséges kimenetel abban az esetben, ha feltétlenül cserélünk (eseménytér).
3. Meghatározásra kerültek az ezen események bekövetkezte esetén nyerhető pénzösszegek.
4. Meghatároztuk a lehetséges kimenetelekhez tartozó elemi valószínűségeket.
5. Végül a csere esetén nyerhető pénzösszegeket az adott kimenetelek valószínűségének arányában összeadtuk – tehát meghatároztuk a feltétlen cserével nyerhető összeg várható értékét.

A követett módszer struktúrája helyes – eredménye mégis hibás. Az eredmény paradox volta egyértelmű.

(Itt jegyezzük meg, hogy a nyeremény várható értéke azt az összeget testesíti meg, amire egy bizonyos stratégia követése során kellően nagy számú ismétlés után számíthatunk. A feladatban csak egyszeri „kísérlet” szerepel, ám ettől a részlettől most eltekintünk.)

A helyes megoldás

Oldjuk meg a feladatot a paradoxon leírásában szereplő megoldási gondolatmenet segítségével!

1. Az elsőre választott boríték tartalma legyen: A.
   • Az egyik borítékban legyen X, a másikban 2X.
   • Elsőre mindkét borítékot véletlenszerűen, egyaránt 1/2 valószínűséggel választhatjuk.
   • A csere nélkül nyerhető összeg tehát ${1 \over 2}X+{1 \over 2}2X={3 \over 2}X$ (a borítékokban lévő pénzösszegek számtani átlaga).
2. Mivel a csere esetén várható nyereményre vagyunk kíváncsiak, a játék lefolyásának 2 elemi kimenetele lehet:

   a) Az elsőre választott boríték a kisebb összeget tartalmazza (A=X), ÉS később azt elcseréljük.

   b) Az elsőre választott boríték a nagyobb összeget tartalmazza (A=2X), ÉS később azt elcseréljük.

3. Az egyes eseményekhez tartozó nyeremények:

   a) A választott boríték tartalma A=X, azt lecserélve a nyereményünk: 2X.

   b) A választott boríték tartalma A=2X, azt lecserélve a nyereményünk: X.

   (Emlékezzünk később a szürkével kiemelt állításokra!)

4. a) és b) események bekövetkezésének egyaránt 1/2 a valószínűsége. (Mivel mindenképpen cserélünk, a valószínűségeket az első választáshoz tartozó elemi valószínűségek határozzák meg, ezek értéke pedig 1/2.)
5. A várható nyereményünk tehát: ${1 \over 2}2X+{1 \over 2}X={3 \over 2}X$

Az eredményen nem lepődünk meg, hiszen evidensen meg kell egyeznie a csere nélkül várható nyereménnyel. De nem is kell elfogadnunk ezt az intuitív evidenciát, a lényeg a végeredmény, ami azt mondja, hogy a 3/2*X várható nyereményű választás feltétlen cseréjével 3/2*X várható nyereményt érhetünk el – másképpen fogalmazva: mindegy, hogy hogyan cselekszünk, a nyereményünk összege a véletlenen, vagy ha úgy tetszik, a szerencsénken fog múlni. Az előbbi, csupán intuitív státuszú evidenciánk bizonyított evidenciává vált. Paradoxon nem lép fel.

Érdemes észrevennünk, hogy az 1. pontban az A paraméter definiálása teljesen felesleges volt, hiszen a képletünkben nem is szerepel! A következő alfejezetben kiderül, hogy ez bizony nem véletlen...

Hiba a paradoxonban

Felvázoltuk a feladat helyes megoldását, de ezzel még nem mutattuk meg, hogy hol a hiba a paradoxonban. Elemezzük hát ugyanennek a gondolatmenetnek a paradoxonban megfogalmazott folyamatát! Ennek során világossá fog válni, hogy a paradoxont valójában az hozta létre, hogy e folyamat során súlyos hibákat követtünk el. Hogy eme hibák miben rejteznek, az talán már most is nyilvánvaló: a lehetséges események meghatározásában, illetve abban, hogy képletünket ezek segítségével írtuk fel.

1. Az elsőre választott boríték tartalma legyen: A.
2. Megjegyzés: az eseménytér tartalmazza az összes lehetséges elemi eseményt, mint pl. pénzfeldobás esetében a „fej” és „írás” elemi eseményeket – fontos: mindkettőt, de egyúttal csakis azt a kettőt!

   Helyes a meglátás, hogy az eseménytérnek a csere esetén is két eleme van:

   a) Az elsőre választott boríték a kisebb összeget tartalmazza (A-t), ÉS később azt elcseréljük.

   b) Az elsőre választott boríték a nagyobb összeget tartalmazza (A-t), ÉS később azt elcseréljük.

   Hogyan??? Ha nagyobb borítékot választjuk, akkor is A van benne, ha a kisebbet, akkor is? - tesszük fel a kérdést, de menten meg is nyugtatjuk magunkat: de hiszen az A csak egy paraméter, a paraméterek meg pont arra valók, hogy változtathassák az értéküket! Nincs itt semmi gond, az az A nem ugyanaz az A! Haladjunk tovább!

   (Valójában éppen most ágyazunk meg a paradoxonnak...)

3. Mik a felsorolt lehetséges eseményekhez tartozó nyeremények?

   a) A választott boríték tartalma A – ez most a nagyobbik A, azt lecserélve a nyereményünk tehát: A/2.

   b) A választott boríték tartalma A – ez most a kisebbik A, azt lecserélve a nyereményünk tehát: 2A.

   Remek, megvan a két lehetséges nyeremény! Vagyis várjunk csak egy pillanatra... Nem az volt, hogy a két lehetséges nyeremény aránya egymáshoz 1:2? – A/2 és 2A aránya pedig 1:4! Jajj, ugyan dehogy! Már megint majdnem elfelejtettük, hogy az az A nem ugyanaz az A... A csak egy paraméter, és könnyedén létezhet két olyan egymástól különböző A, amikre az A₁/2 éppen fele a 2A₂-nek! Sőt, minden A₁ = 2*A₂ esetben teljesül ez, így egyben érvényesen lehetnek a borítékok tartalmai is, hiszen maguk is 2:1 arányúak!

   (Valójában, míg az előbb csak megágyaztunk a paradoxonnak, éppen most kapcsoljuk le a villanyt...)

4. a) és b) események bekövetkezésének egyaránt 1/2 a valószínűsége. (Mivel mindenképpen cserélünk, a valószínűségeket az első választáshoz tartozó elemi valószínűségek határozzák meg, ezek értéke pedig 1/2.)

   (...és akkor jöhet az álom!)

5. Felírjuk a várható nyeremény képletét!

   ${1 \over 2}{A \over 2}+{1 \over 2}2A={5 \over 4}A$

Jajj! Paradoxon!!!

Magyarázat

Addig rendben, hogy az az A nem az az A... még az is rendben, hogy abban az A/2-ben nem ugyanaz az A van, mint a 2A-ban... Amit nem visel el egy paraméter az az, hogy egy képleten belül két különböző helyen két különböző értéket vegyen fel!

A paradoxon megfogalmazása közben elkövetett hiba – bár talán már nem kell magyarázni - rögtön világossá válik, ha úgy fogalmazunk, hogy a kezünkben lévő boríték tartalma legyen A, A pedig legyen egyenlő A₁-gyel, illetve A₂-vel aszerint, hogy a nagyobb, vagy a kisebb összeget tartalmazó boríték van eredetileg a kezünkben.

(Emlékezzünk a szürkével kiemelt állításokra a helyes megoldásban: A=X, A=2X !)

Képletünket ekkor így írhatjuk fel: ${1 \over 2}{A_{1} \over 2}+{1 \over 2}2A_{2}={A_{1} \over 4}+A_{2}$

A paradoxon képlete pedig ez volt: ${1 \over 2}{A \over 2}+{1 \over 2}2A={A \over 4}+A$

Végül mégiscsak összekeveredett az a kétfajta A egyetlen képletben. Miért lepődünk meg azon, hogy ellentmondásra jutunk, ha a matematika, mint formális nyelv szabályait ilyen súlyosan megsértjük?

Más megfogalmazásban

Súlyos hibát elkövetve ekvivalensként, így egymással felcserélhetőként kezeltük „a választott boríték tartalma legyen A” és „a választott boríték lehetséges tartalma legyen A” formákban megfogalmazott definíciókat. Az első rögzíti A értékét, a második viszont paraméterként nyitva hagyja.

Érdekesség 1.

Az elkövetett hiba, mint láttuk, abból származik, hogy definiálunk egy már eleve ellentmondást tartalmazó rendszert (A=A₁ ÉS A=A₂, ahol A₁ $\neq$ A₂). Kísértetiesen emlékeztet ez arra a klasszikus paradoxonra, ami így szól:

Mi történik, ha egy feltartóztathatatlan ágyúgolyó áttörhetetlen falba ütközik?

A kérdés nem csak hogy nem megválaszolható, hanem a kérdésnek eleve nincs is értelme (értelmezhető jelentése), hiszen amikor feltesszük egy feltartóztathatatlan ágyúgolyó létét, akkor ez eleve kizárja egy áttörhetetlen fal létezését, és fordítva: már a kérdésbe magába tiltott definíciós módszerrel létrejött kifejezéseket csempésztünk.

Ismételten fontos kiemelni: nem pusztán arról van szó, hogy a paradoxon megfogalmazásakor „valami mást” számoltunk ki, mint amit eredetileg szerettük volna, hanem a semmit számoltuk ki: teljes mértékben értelmetlen az eredményünk, nincsen a valósághoz köthető interpretációja!

Érdekesség 2.

Egyesek feltételezik, hogy a híres Gödel-tétel – és vele együtt minden más „gyanúsan” önhivatkozó, illetve definíció után újradefiniáló műveletet alkalmazó paradoxon vagy paradox tétel – ilyen jellegű „tiltott” művelet rejt magában, és ennek következtében hibás gondolatmeneten alapul. Hogy melyek is ezek a tiltott műveletek, és pontosan hol rejtőznek, arra a szkeptikusok többféle választ adnak. Egyesek a végtelenek speciális, és emberi elmével nem megragadható tulajdonságai következményeinek tudják be (hasonlóan a nullával való osztás tilalmához), mások egyenesen az ön- vagy újrahivatkozás, mint műveletek pillanatnyilag ismeretlen „transzcendens” tulajdonságaiból eredeztetik. Megint mások szerint a fentebb nevezett paradoxonok levezetéseiben olyan egyszerű emberi tévedések szerepelnek, mint például fogalmi kategóriák összekeverése (Pl. az almának, mint létező gyümölcsnek nem saját tulajdonsága az "alma" szó, amivel hivatkozunk rá, így az alma szó saját tulajdonságai sem azok. Példaképpen: az almának, mint gyömölcsnek semmiféleképpen nem tulajdonsága az, hogy "négybetűs" - az csak az almának, mint szónak tulajdonsága. Az olyan műveletek tehát, amik egy objektum valós tulajdonságai helyett az objektum megnevezésének vagy definíciójának, tehát bármiféle nyelvi hivatkozásának tulajdonságaival operálnak, szükségszerűen becsempészik az e műveletet tartalmazó gondolatmenetekbe az ellentmondás, a paradoxon lehetőségét.)

Érdekesség 3.

A paradoxonban foglalt gondolatmenetnek mégis létezik egy olyan analógiája, ami helyes végeredményt ad. Emlékezzünk: a cserével várható nyereményre vonatkozó végeredmény a két boríték tartalmának számtani átlaga.

Analógiaként azt tartjuk meg, hogy mégis az elsőre választott boríték tartalmából indulunk ki – ám nem a konkrét, hanem a lehetséges tartalmából.

Legyen az elsőként választott boríték tartalma, mint várható nyeremény: A. (E várható nyeremény értelemszerűen nem felel meg egyik elemi eseménynek sem, hanem csupán ezek átlaga, egy számszerű virtuális mennyiség, se az egyik, se a másik borítékban található összeggel nem azonos!

• Melyik ekkor a két elemi eseménynek megfelelő nyeremény? Tudjuk róluk, hogy egyikük kétszer akkora, mint a másik, és azt, hogy az összegük átlaga A. Az egyszerű három-ismeretlenes egyenletrendszerből a két elemi esemény A-val kifejezve: 2A/3 és 4A/3 (tehát nem A/2 és 2A !). Ezek aránya valóban 1:2, tehát megfeleltethetők a két boríték tartalmának, illetve számtani átlaguk valóban A.

• Írjuk most fel a paradoxon megfogalmazásánál alkalmazott képletet a cserével elérhető nyereményünk várható értékére:

${1 \over 2}\left({2A \over 3}\right)+{1 \over 2}\left({4A \over 3}\right)={A \over 3}+{2A \over 3}=A$

Mi is jelentett az A? Az első választás után várható átlagos nyereményünket. Nos, a cserével várható nyereményünk ugyanez: A!

Az eredményen ismét nem kell meglepődünk. A módszer alkalmazását, egy virtuális A értékből való kiindulást az teszi lehetővé, hogy az összes elképzelhető elemi esemény valószínűsége azonos – ebből a szimmetriából pedig algebrai evidenciák következnek. Ez könnyen látható lesz, ha a képletünket más formában írjuk fel.

• Mint az elején kijelentettük, A a két boríték tartalmának számtani átlaga. Ekkor a két boríték tartalmának aránya – köztük az átlagértékkel – így is felírható:

$\left(A-{A \over 3}\right):A:\left(A+{A \over 3}\right)$

• A cserével várható nyereményre vonatkozó képletünk ekkor így mutat:

${1 \over 2}\left(A-{A \over 3}\right)+{1 \over 2}\left(A+{A \over 3}\right)$

Ha az összeg két tagjának együtthatója azonos, akkor a zárójelek bontásakor az A/3 kifejezések ellentétes előjelüknek köszönhetően kiesnek - a két együttható pedig (valószínűség-számítási evidencia okán) 1-re egészíti ki egymást, így a képletünk rendezése után eredményként szükségszerűen A-t kapunk.