Szerkesztő:Parpet/Analízis/Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz

A valós szám n-esek tere

Az Rⁿ euklideszi vektortér esetén (ezt az algebrai megközelítés miatt diszkrét esetnek is nevezhetjük) az állítás a következőképpen néz ki.

Tétel. Legyen $a_{1},\dots ,a_{n}$ és $b_{1},\dots ,b_{n}$ valós számok véges sorozatai. Ekkor

$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\leq {\sqrt {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}{\sqrt {b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}}}$

(és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha valamelyik sorozat „többszöröse” a másiknak, azaz például $b_{1}=ca_{1},\dots ,b_{n}=ca_{n}$ valamilyen c valós számra).

Első bizonyítás. Ha tehát $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}$ valós számok, akkor minden valós x-re

$(a_{i}x-b_{i})^{2}=a_{i}^{2}x^{2}-2a_{i}b_{i}x+b_{i}^{2}\geq 0$

teljesül. Ezeket az egyenlőtlenségeket $i=1,\dots ,n$-re összeadva azt kapjuk, hogy minden valós x-re igaz lesz

$(a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+\cdots a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})\geq 0.$

Ez csak úgy lehet, ha a szereplő másodfokú polinom diszkriminánsa nempozitív, azaz

$4(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}-4(a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})\leq 0$

amiből átrendezéssel adódik az egyenlőtlenség.

Az egyenlőség esete triviális, hiszen ekkor c-t kiemelve, mindkét oldalon az a_{i számok négyzetösszegét kapjuk. QED}

Második bizonyítás. Felhasználva a (kiszorzással látható)

$(\sum a_{i}^{2})(\sum b_{i}^{2})-(\sum a_{i}b_{i})^{2}=\sum _{i<j}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

azonosságot, az egyenlőtlenség azonnal adódik.

Megjegyzés. Természetesen ezesetben nem kell feltétlenül az Rⁿ-beli skalárszorzásként felfognunk az egyenlőtlenség baloldalát. Tekinthetünk az egyenlőtlenségre úgy is, mint tetszőleges a₁, a₂, ..., a_n illetve b₁, b₂, ..., b_n valós számokra vonatkozó relációra.