Szerkesztő:Parpet/Analízis/Bernoulli-egyenlőtlenség

Legyen

$h\geq -1\in \mathbb {R}$

$n\in \mathbb {N} ^{+}$,

ekkor

$1+nh\leq (1+h)^{n}.$

Egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha h=0 vagy n=1.

A bizonyítás teljes indukcióval végezhető: $n=1$-re nyilván egyenlőség áll és ha az állítás igaz $n$-re, akkor

$(1+h)^{n+1}=(1+h)^{n}(1+h)\geq (1+nh)(1+h)$

ami kiszorozva

$1+(n+1)h+nh^{2}\geq 1+(n+1)h.$

Egyenlőség:

$\Longleftarrow$ triv.

$\Longrightarrow$

Kell:

$1+(n+1)h+nh^{2}=1+(n+1)h$

$nh^{2}=0$

$h=0_{\Box }$