Szerkesztő:Neruo/Bertrand-duopólium

A Bertrand-duopólium a mikroökonómia, iparági szerkezetek (industrial organization) által használt duopol-modellek egyike, melyet megalkotójáról, Joseph Louis François Bertrand-ról neveztek el. Bertrand 1838-ban jelentette meg cikkét melyben kritikát fogalmazott meg Cournot duopolmodelljével szemben. Kritikájában felvetette, hogy – az oligopolmodellek alkotásnak eddigi „hagyományaival” ellentétben – a modellezés során a vállalatokra úgy kell tekinteni, mint akik termékük árát és nem mennyiségét döntik el, változtatják meg.

Ennek megfelelően a Bertand-modell feltevései a következők:

• A piacon rövid és hosszú távon is pontosan két termelő (a továbbiakban: vállalat) van jelen.
• Ezek a vállalatok nem működnek együtt (nem kooperálnak).
• A vállalatok ugyanazokat a termékeket állítják elő, és a termékegységek homogének.
• A vállalatok egyetlen célja profitjuk maximalizálása, aminek érdekében az összes rendelkezésükre álló információt felhasználják.
• A vállalatok döntéseiket szimultán módon (vagyis a másik döntését nem ismerve) hozzák meg.
• A vállalatok döntésükben termékük árát állapítják meg, az előállított mennyiség ennek az árnak a függvénye.
• A fogyasztók mindig az olcsóbb áron kínáló termelőtől vásárolnak. Ha a két ár egyforma, akkor a fogyasztók fele-fele arányban vásárolnak mindkettőtől.
• A határköltsége mindkét vállalatnak adott, konstans
• A kereslet lineáris

Az optimális döntés

Látható, hogy mindkét vállalat optimális döntése megfogalmazható egy kétszereplős, nem-kooperatív, szimultán döntéshozatal mellett játszódó játékelméleti problémaként (melyben a kifizetések köztudott tudásnak számítanak), hiszen a vállalat döntése b vállalat döntésétől függ (és fordítva).

A piaci kereslet linearitásáról szóló feltevés alapján felírható a piaci kereslet általános lineáris alakja:

$p(Q)=a-bQ\,$, ahol $Q=q_{1}+q_{2}$

A modell feltevéseiből szintén kikövetkeztethető, hogy amennyiben x vállalat az y-nál (akárcsak $\epsilon$-nyival) alacsonyabb árat szab, akkor a teljes piaci kereslettel szembesülni fog, hiszen a fogyasztók attól vásárolnak, aki a terméket (ami mindkét vállalat által előállítva minőségben is ugyanolyan) olcsóbb áron kínálja. Ugyanez fordítva is igaz, tehát ha x vállalat y-nál magasabb árat szab, akkor minden vásárlóját elveszti.

Így a fenti egyenletből átrendezéssel levezethető az i-edik vállalattal szemben megnyilvánuló (reziduális) kereslet:

$q_{i}={\begin{cases}0&{\mbox{ha }}p_{i}>a\\0&{\mbox{ha }}p_{i}>p_{j}\\{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a-p}{b}}&{\mbox{ha }}p_{i}=p_{j}=p<a\\{\frac {a-p_{i}}{b}}&{\mbox{ha }}p_{i}<\min(a,p_{j})\\\end{cases}}$ ahol $i=1,2\,$ és $i\neq j\,$

Vagyis a vállalat terméke iránt megnyilvánuló kereslet 0, ha a vállalat az árat olyan magas szinten szabja meg, amely meghaladja a legmagasabb rezervációs árral rendelkező fogyasztó rezervációs árát (=a) is. Ugyancsak 0 a reziduális kereslet, ha a vállalat drágább árat határoz meg, mint versenytársa. Amennyiben a két versenyző ugyanazon az áron kínálja termékét (ami kisebb, mint a), akkor mindkettőjük a piac felét birtokolja. Ha az eldöntött ár kisebb, mint a versenytársé (és kisebb, mint a), akkor a teljes piac az övé.

Ha a modellt játékelméleti problémaként szemléljük, akkor a játék kifizetőfüggvényei ugyanazok, mint a racionális döntéshozatal során hozott profitmaximalizáló döntések. A játékelméleti megközelítésből azonban könnyebben látszik, hogy az elérendő egyensúly olyan stratégiakombináció (mindkét játékos részéről), amelyből egyik játékosnak (vállalatnak) sem érdemes elmozdulnia.

Ennek megfelelően megalkothatjuk az erre a játékra vonatkozó Nash-egyensúlyt (Bertrand-Nash egyensúly), vagyis x játékos adott döntése mellett y játékos optimális döntését:

Kapacitáskorlát nélkül

A modell alapesetben úgy tekint a vállalatokra, mint olyan termelőegységekre, amelyek végtelen mennyiségben képesek termékeket előállítani. Ennek szükségessége elméletileg előfordulhat, hiszen az árat változtatva szélsőséges esetben akár végtelen mennyiség előállítására is kényszerülhet a vállalat (rövid távon is)