Szerkesztő:Nagylacko/próbalap

A Poisson és a binomiális eloszlás kapcsolata

A binomiális eloszlásnál azokban az esetekben, amikor n a végtelenhez konvergál, és a várható érték λ nagyságú, Poisson eloszlást kapunk. A Poisson eloszlás tehát a binomiális eloszlás határeloszlása. Ekkor: λ=np és így p valószínűség a következőre módosul: ${\frac {\lambda }{n}}$

Matematikai bizonyítás

$P(X=k)={n \choose k}*\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}*\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\left(n-k\right)}$
Bontsuk ki ${n \choose k}$ - t!
${\frac {n!}{k!(n-k)!}}*\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}*\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\left(n-k\right)}=$

= ${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}*{\frac {n!}{(n-k)!n^{k}}}*\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\left(n-k\right)}$ Osszuk le (n-k)!-t n!-al!
${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}*{\frac {n!}{(n-k)!n^{k}}}*\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\left(n-k\right)}$