Szerkesztő:Mozo/Egyéb

TEX

Greek alphabet symbols

TeX rendering	TeX syntax	HTML rendering	HTML syntax
$\alpha$	\alpha	α Α	α Α
$\beta$	\beta	β Β	β Β
$\gamma \Gamma$	\gamma \Gamma	γ Γ	γ Γ
$\delta \Delta$	\delta \Delta	δ Δ	δ Δ
$\epsilon \varepsilon$	\epsilon \varepsilon	ε Ε	ε Ε
$\zeta$	\zeta	ζ Ζ	ζ Ζ
$\eta$	\eta	η Η	η Η
$\theta \vartheta \Theta$	\theta \vartheta \Theta	θ ϑ Θ	θ ϑ Θ
$\iota$	\iota	ι Ι	ι Ι
$\kappa$	\kappa	κ Κ	κ Κ
$\lambda \Lambda$	\lambda \Lambda	λ Λ	λ Λ
$\mu$	\mu	μ Μ	μ Μ
$\nu$	\nu	ν Ν	ν Ν
$\xi \Xi$	\xi \Xi	ξ Ξ	ξ Ξ
		ο Ο	ο Ο
$\pi \varpi \Pi$	\pi \varpi \Pi	π ϖ Π	π ϖ Π
$\rho \varrho$	\rho \varrho	ρ Ρ	ρ Ρ
$\sigma \varsigma \Sigma$	\sigma \varsigma \Sigma	σ ς Σ	σ ς Σ
$\tau$	\tau	τ Τ	τ Τ
$\upsilon \Upsilon$	\upsilon \Upsilon	υ Υ	υ Υ
$\phi \varphi \Phi$	\phi \varphi \Phi	φ Φ	φ Φ
$\chi$	\chi	χ Χ	χ Χ
$\psi \Psi$	\psi \Psi	ψ Ψ	ψ Ψ
$\omega \Omega$	\omega \Omega	ω Ω	ω Ω

Arrows and dots

TeX rendering	TeX syntax	HTML rendering	HTML syntax
$\rightarrow$	\rightarrow	→	→
$\leftarrow$	\leftarrow	←	←
$\uparrow$	\uparrow	↑	↑
$\downarrow$	\downarrow	↓	↓
$\leftrightarrow$	\leftrightarrow	↔	↔
$\Rightarrow$	\Rightarrow	⇒	⇒
$\Leftarrow$	\Leftarrow	⇐	⇐
$\Uparrow$	\Uparrow	⇑	⇑
$\Downarrow$	\Downarrow	⇓	⇓
$\Leftrightarrow$	\Leftrightarrow	⇔	⇔
$\mapsto$	\mapsto
$\nearrow$	\nearrow
$\searrow$	\searrow
$\swarrow$	\swarrow
$\nwarrow$	\nwarrow
$\longleftarrow$	\longleftarrow
$\longrightarrow$	\longrightarrow
$\Longleftarrow$	\Longleftarrow
$\Longrightarrow$	\Longrightarrow
$\Longleftrightarrow$	\Longleftrightarrow
$\longmapsto$	\longmapsto
$\cdot$	\cdot	·	·
$\ldots$	\ldots	…	…
$\cdots$	\cdots
$\ddots$	\ddots
$\vdots$	\vdots

Set symbols

TeX rendering	TeX syntax	HTML rendering	HTML syntax
$\in$	\in	∈	∈
$\not \in$	\not \in	∉	∉
$\subseteq$	\subseteq	⊆	⊆
$\subset$	\subset	⊂	⊂
$\supseteq$	\supseteq	⊇	⊇
$\supset$	\supset	⊃	⊃
$\cup$	\cup	∪	∪
$\cap$	\cap	∩	∩

Relation symbols

TeX rendering	TeX syntax	HTML rendering	HTML syntax
$\leq$	\le	≤	≤
$\geq$	\ge	≥	≥
$\sim$	\sim	∼	∼
$\simeq$	\simeq	≅	≅
$\approx$	\approx	≈	≈
$\neq$	\ne	≠	≠
$\equiv$	\equiv	≡	≡

Other symbols

TeX rendering	TeX syntax	HTML rendering	HTML syntax
$\oplus$	\oplus	⊕	⊕
$\otimes$	\otimes	⊗	⊗
$\times$	\times	×	×
$\circ$	\circ
$\bullet$	\bullet	•	•
$\pm$	\pm	±	±
$\mp$	\mp

TeX operation symbols

n-th Root	${\sqrt[{n}]{x}}$	\sqrt[n]{x}
Summation	$\sum _{i=0}^{n}$	\sum_{i=0}^n
Product	$\prod _{i=0}^{n}$	\prod_{i=0}^n
Coproduct	$\coprod _{i=0}^{n}$	\coprod_{i=0}^n
Limit	$\lim _{i\to 0}$	\lim_{i \to 0}
Integral	$\int _{0}^{n}$	\int_0^n
Path integral	$\oint _{C}$	\oint_C
Union	$\bigcup _{i=0}^{n}$	\bigcup_{i=0}^n
Intersection	$\bigcap _{i=0}^{n}$	\bigcap_{i=0}^n
Logical disjunction	$\bigvee _{i=0}^{n}$	\bigvee_{i=0}^n
Logical conjunction	$\bigwedge _{i=0}^{n}$	\bigwedge_{i=0}^n
Vector product	$\bigotimes _{i=0}^{n}$	\bigotimes_{i=0}^n
Direct sum	$\bigoplus _{i\in I}$	\bigoplus_{i \in I}
	$\bigodot _{i=0}^{n}$	\bigodot_{i=0}^n
	$\biguplus _{i=0}^{n}$	\biguplus_{i=0}^n

TeX grouping symbols

Parentheses	$(xyz)$	(xyz)
Brackets	$[xyz]$	[xyz]
Braces	$\{xyz\}$	\{xyz\}
Vertical lines	$\vert xyz\vert$	\vert xyz \vert
Double vertical lines	$\Vert xyz\Vert$	\Vert xyz \Vert
Angle brackets	$\langle xyz\rangle$	\langle xyz \rangle
Overline, vinculum	${\overline {xyz}}$	\overline{xyz}
Brace over	$\overbrace {xyz}$	\overbrace{xyz}
Underline	${\underline {xyz}}$	\underline{xyz}
Brace under	$\underbrace {xyz}$	\underbrace{xyz}
Angle bracket over	${\widehat {xyz}}$	\widehat{xyz}

TeX matrices

Description	TeX rendering	TeX syntax
Matrix	${\begin{matrix}x&y&z\\u&v&w\end{matrix}}$	\begin{matrix} x & y & z \\ u & v & w \end{matrix}
Matrix with parentheses	${\begin{pmatrix}x&y&z\\u&v&w\end{pmatrix}}$	\begin{pmatrix} x & y & z \\ u & v & w \end{pmatrix}
Matrix with brackets	${\begin{bmatrix}x&y&z\\u&v&w\end{bmatrix}}$	\begin{bmatrix} x & y & z \\ u & v & w \end{bmatrix}
Matrix with braces	${\begin{Bmatrix}x&y&z\\u&v&w\end{Bmatrix}}$	\begin{Bmatrix} x & y & z \\ u & v & w \end{Bmatrix}
Matrix with vertical lines	${\begin{vmatrix}x&y&z\\u&v&w\end{vmatrix}}$	\begin{vmatrix} x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix}
Matrix with double vertical lines	${\begin{Vmatrix}x&y&z\\u&v&w\end{Vmatrix}}$	\begin{Vmatrix} x & y & z \\ u & v & w \end{Vmatrix}

TeX functions

Description	TeX rendering	TeX syntax
Inverse cosine	$\arccos$	\arccos
Inverse sine	$\arcsin$	\arcsin
Inverse tangent	$\arctan$	\arctan
Cosine	$\cos$	\cos
Hyperbolic cosine	$\cosh$	\cosh
Cotangent	$\cot$	\cot
Hyperbolic cotangent	$\coth$	\coth
Cosecant	$\csc$	\csc
Determinant	$\det$	\det
Dimension	$\dim$	\dim
Exponential	$\exp$	\exp
Greatest common divisor	$\gcd$	\gcd
Infimum	$\inf$	\inf
Kernel	$\ker$	\ker
Limit of infimum	$\liminf$	\liminf
Limit of supremum	$\limsup$	\limsup
Natural logarithm	$\ln$	\ln
Logarithm	$\log$	\log
Maximum	$\max$	\max
Minimum	$\min$	\min
Secant	$\sec$	\sec
Sign function	$\operatorname {sgn}$	\sgn
Sine	$\sin$	\sin
Hyperbolic sine	$\sinh$	\sinh
Supremum	$\sup$	\sup
Tangent	$\tan$	\tan
Hyperbolic tangent	$\tanh$	\tanh

Fizika

Azt már Galilei is felismerte, hogy bármely test ugyanakkora gyorsulással esik szabadon[1]. Ez a nehézségi gyorsulás:

$g\,$

Matematikai modellel ezt két úton is lehet demonstrálni. Mindkettő Newton 2. törvényével függ össze. Eszerint a gyorsító erő:

$F=ma\,$

Egyrészt a Föld felszíne közelében a súlyerő, ami gyorsítja a testeket: F=G=mg (g cirka 10 m/s²). Ha $m_{1}$ a test tömege, akkor az említett törvény szerint:

$m_{1}g=m_{1}a\,$

Innen $m_{1}$-gyel egyszerűsíthetünk és kapjuk:

$a=g\,$

tehát a gyorsulás független a tömegtől (a 2. törvényben szereplő tehetelen és a súlyerőben szereplő gravitáló tömeg egyenlőségét Eötvös Loránd igazolta kb 10 tizedesjegy pontosságra). De nem csak a felszínen igaz ez, hanem mindenhol, mert a gravitációs törvény általános alakja:

$F=\gamma {\frac {m_{1}m_{F}}{r^{2}}}$

ahol $m_{F}$ a Föld tömege. Innen az F=$m_{1}a$ egyenlőségből ugyanúgy kiesik az eső test tömege, és így a gyorsulást csak a Föld tömege határozza meg.

Természetesen légellenállás van a szabadesés közben, de ez elhanyagolható a gravitációhoz képest. Ehhez képest is sokkal kisebb a két testre ható légellenállás különbsége. Legfeljebb századmásodperc lehet az eltérés a két test esési ideje között, ha meg azonos az alakjuk és méretük is, akkor pedig 0.

És akkor a képletek. Ha h magasságból kezdősebesség nélkül leejtünk egy testet, akkor a leérkezési sebességét az energiamegmaradásból számolhatjuk: E (helyzeti) = E (mozgási):

$mgh={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Innen

$v={\sqrt {2gh}}$

az időt pedig a v=gt-ből számolhatjuk:

$t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}$

bármely testre.

A rendezett párok formális elmélete és szemantikája

Egy adott L formális nyelvre alapuló T elméletben definiálható a "rendezett pár" fogalom, ha van olyan

op(x,y)

kétváltozós kifejezés (term, melyben az x és y változó szabadon szerepel) melyre a következő formula (karakterikus tulajdonság) tétel:

(∀ x)(∀ y)(∀ u)(∀ v)( op(x,y)=op(u,v) ⇒ (x=u & y=v) )

Ekkor tetszőleges T és S termekre az op(T,S) term rendezett pár. Ha C(x) olyan egyváltozós kifejezés, melyre tétel az alábbi formula:

(∀ x)(∀ y)( C(op(x,y))=x ∨ C(op(x,y))=y) & ( C(op(x,y))=C(op(y,x)) ⇒ (op(x,y)=op(y,x)) )

akkor C-t "komponens-kiválasztó" függvénynek nevezzük. A C( op(T,S) ) termet az op(T,S) rendezett pár első komponensének nevezzük, a T és S közül az ezzel nem egyenlőt (ha van ilyen) második komponensnek (ha nincs, akkor a második komponens is C( op(T,S)) ).

Megjegyezük, hogy C( op(T,S) ) nem feltélenül ugyanaz a term mint T vagy S, de egyenlő valamelyikükkel. Például az op( 4 , 2² ) rendezett pár komponensei nem biztos, hogy grafikusan azonosak 4-gyel vagy 2²-vel, de egyenlők egymással és 4-gyel is illetve 2²-vel is (feltéve, hogy 4 és 2² kifejezhetők és az aritmetika tételei igazolhatók az adott elméletben).

A halmazelméletben például op(x,y)-nak alkalmas az {{x},{x,y}} term és C( {{x},{x,y}} )-nek az "{{x},{x,y}} nem kételemű elemének eleme" kifejezés (mely egyértelműen létezik).

Axiomatikus bevezetés. Eszerint, ha a T elméletetben választunk egy, a fenti tulajdonságokkal rendelkező kétváltozós op(x,y) kifejezést és a hozzá tartozó egyváltozós C(x) kifejezést, akkor a rendezett pár L nyelv feletti, T elmélet beli fogalmához jutunk. Ekkor az op(x,y) alakú termek lesznek az elméletben a rendezt párok, vagy másként fogalmazva azok a termek, melyek szándékolt módon "rendezett párokat" jelölnek.

Szemantika. Ha a T elméletnak van modellje, akkor op és C is megfelelően interpretálható, azaz az op(x,y) alakú termeknek megfelelnak bizonyos objektumok az individuumtartományon belül. Például, ha a modell halmazelméleti modell, alaphalmaza az A halmaz, akkor az interpretáció kijelöl minden op(x,y)-nek egy olyan A-beli elemet, melyet op(x,y) jelöl. Ekkor A ezen elemei a rendezett párok, illetve a nyelvbéli "rendezett pár termek" (op(x,y)-ok) jelöletei. Adott esetben ezek semmilyen kapcsolatban nincsenek az {{x},{x,y}} vagy hasonló halmazelméleti objektumokkal.

Megj. Az op(x,y) -ok jelöletének halmazelméleti biztosításakor (modell megadásakor) ugynaz az "önhivatkozás" szerű jelenség lép fel, mint minden halmazelméleti modellnél. Egyrészt a halmazelmélet {{x},{x,y}} termjei a Set formális nyelvben, azaz a halmazelmélet formális nyelvében alkalmasak a rendezett párnak (op(x,y)-nak), ezek tehát, ha abban állapodunk meg "rendezett pár termek". Másrészt egy másik T formális elméletben Set halmazai az interpretáció szerepét játsszák, azaz itt a halmazokat nem termként, hanem objektumként, illetve individuumként kell kezelnünk. A konfliktus feloldására két megoldás kínálkozik. 1) Platonista: léteznek a matematikai objektumok (individuumok, azaz halmazok) (de ekkor "nem tudjuk", hogy mik azok) 2) Formalista: csak formális nyelvek léteznek, és ezek tulajdonságain keresztül érhetjük el a matematikai objektumok "lehetséges/feltételes világát". Ez utóbbi esetben érvényel Skolem azon kijelentése, hogy a halmazelmélet relatív, nem jelöl ki egyértelműen egy világot(szándékolt modellt) (talán ez az elvárás naiv is, nem is tudna kijelölni).

Diffegy

${\frac {dy}{dx}}=1+3{\frac {y}{x}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}$

Megoldás - Vezessük be az u=y/x új ismeretlent. Az ux = y egyenletet x szerint deriválva:

${\frac {du}{dx}}x+u{\frac {dx}{dx}}={\frac {dy}{dx}}$ azaz

${\frac {du}{dx}}x+u={\frac {dy}{dx}}$

A diff. egyenlet jobb oldala 1+3u+u², az előbbi egyenlet bal oldala ezzel egyenlő, így:

${\frac {du}{dx}}x+u=1+3u+u^{2}$ rendezve

${\frac {du}{dx}}x=1+2u+u^{2}$, mely szétválasztható változójú: (1+2u+u²)-pal és x-szel osztva ill. dx-szel szorozva:

${\frac {du}{1+2u+u^{2}}}={\frac {dx}{x}}$, ahol 1+2u+u²=(1+u)² az (a+b)²=a²+2ab+b² miatt:

${\frac {du}{(1+u)^{2}}}={\frac {dx}{x}}$, ez integrálható a

$(1+u)^{-2}du={\frac {dx}{x}}$, alakban:

$\int (1+u)^{-2}du=\int {\frac {dx}{x}}$

${\frac {(1+u)^{-1}}{-1}}=ln|x|+C$

${\frac {(1+u)^{-1}}{-1}}=ln|x|+C$

Parcdiff

Feladat - Igazoljuk, hogy az azonos térfogatú négyzetalapú hasábok közül a kocka a legkisebb felszínű.

Megoldás. Felhasználjuk, hogy az

$x^{3}+bx+c=0\,$

alakú egyenletnek akkor és csak akkor van két egybeeső gyöke, ha teljesül a

${\frac {b^{3}}{27}}+{\frac {c^{2}}{4}}=0$

egyenlőség (ez igazolható közvetlenül is, vagy a Cardano-képlet alapján).

Legyen V a térfogat, a a négyzetalap, b a hasáb magassága. Innen F = 2a² + 4ab illetve V = a²b. Tehát

$F=2a^{2}+4{\frac {V}{a}}$ azaz

$a^{3}-{\frac {F}{2}}a+2V=0$

Érdemes a V térfogatú kocka élének e hosszában, mint egységben mérni. Így a =q$\cdot$e. Az egyenlet:

$e^{3}q^{3}-{\frac {F}{2}}qe+2e^{3}=0$

Ennek az egyenletnek kell két egybeeső gyököt produkálnia, hogy a felszín minimális legyen. Ennek feltétele:

${\frac {F^{3}}{8\cdot 27}}=e^{6}\,$ azaz

$F=6e^{2}\,$

amit az egyenletbe írva kiesik az e és a vizsgálandó egyenlet:

$q^{3}-6q+2=0\,$

amit (a 2 osztóit vizsgálva) könnyen adódik a szorzat alak:

$(q-2)(q-1)^{2}=0\,$

Vagyis a kétszeres gyök: q = 1.

TND

Állítás - Létezik olyan a és b irracionális szám, hogy a^b racionális.

Bizonyítás. Az esetszétválasztás elvét alkalmazzuk.

Először tegyük fel, hogy a

${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$

szám racionális. Ekkor készen vagyunk a bizonyítással, mert mint ismeretes négyzetgyök kettő irracionális.

Másodszor tegyük fel, hogy

${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$

irracionális. Tekintsük a következő hatványt:

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}$

A feltétel miatt az alap is irracionális illetve tudjuk, hogy a kitevő is irracionális. De ez a hatvány a következővel egyenlő:

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$

ami racionális. Q.E.D.

Megjegyzés. A bizonyítás mintapéldája a "tiszta egzisztenciabizonyítás"oknak. Valójában nem derül ki belőle sem az, hogy melyik az az a és b irracionális szám, mely a racionális hatványt eredményezi, sem az, hogy

${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$

racionális-e vagy sem. Ám a tétel a konstruktív matematikában is fennáll, mert sikerült hozzá konstruktív bizonyítást is találni.

Young-tétel

$f(x)=f(u)+\mathrm {grad} \,f(u)(x-u)+\varepsilon (x)(x-u)\,$

$\varepsilon (x)=\varepsilon (u)+\mathrm {d} \,\varepsilon (u)(x-u)+\eta (x)(x-u)$

$f(x)=f(u)+\mathrm {grad} \,f(u)(x-u)+(x-u)\mathrm {d} \,\varepsilon (u)(x-u)+(x-u)\eta (x)(x-u)\,$

$x_{1}-u_{1}=h\,$ $x_{2}-u_{2}=k\,$

$f()=f(u)+\mathrm {grad} \,f(u)(x-u)+A_{11}(u)(x-u)+(x-u)\eta (x)(x-u)\,$