Szerkesztő:Malatinszky/Teljes rendezett test

A matematikai analízisben teljes rendezett testnek nevezünk egy rendezett testet, ha rendelkezik azzal a teljességnek nevezett tulajdonsággal, amit intuitív módon úgy fogalmazhatunk meg, hogy elemei között nincsenek rések vagy lyukak. A teljesség fogalmára több formális definíció is létezik, amelyek arkhimédeszien rendezett testek esetében egymással ekvivalensek; mi több, nevezetes tény, hogy csak egyetlen teljes arkhimédeszien rendezett test van: a valós számok teste. A rendezett testek közül nem teljes például a racionális számok teste, amelyben a ${\sqrt {2}}$-nél kisebb és a ${\sqrt {2}}$-nél nagyobb racionális számok között nincsen racionális szám. A teljes rendezett test fogalma alapvető fontosságú szerepet játszik a matematikai analízisben.

Definíciók

A teljes rendezett test fogalmára számos formális definíció létezik. Ezek mindegyikében közös kiindulópont egy $\mathbb {F}$ (nem feltétlenül arkhimédeszien) rendezett test.

Erős teljességi axiómák

Erősen teljesnek nevezzünk egy rendezett testet, ha teljesíti az alábbi három feltétel valamelyikét. Ezek a feltételek ekvivalensek, és belőlük következik, hogy a test arkhimédeszien rendezett. Nevezetes tény az, hogy erősen teljes rendezett test csak egy van: a valós számok $\mathbb {R}$ teste.

Legkisebb felső korlát

A teljesség ezen definíciója szerint $\mathbb {F}$ teljes, ha minden felülről korlátos, nemüres részhalmazának van legkisebb felső korlátja.

Dedekind-szeletek

Ez a Richard Dedekindtől származó definíció azt mondja, hogy amennyiben $\mathbb {F}$ felírható az $A$ és $B$ halmazok diszjunkt uniójaként úgy, hogy $A$ bármely eleme kisebb $B$ bármely eleménél, akkor vagy $A$-nak van maximuma, vagy $B$-nek van minimuma. ($A$-t és $B$-t Dedekind-szeleteknek nevezzük. Szemléletesen: ha a számegyenest félbetörjük, akkor a töréspont része lesz valamelyik félnek.) Könnyen látható ennek a definíciónak az ekvivalenciája a legkisebb felső korlát létezését kimondóval, ha meggondoljuk, hogy egy felülről korlátos, nemüres halmaz felső korlátainak $B$ halmaza, illetve $A=\mathbb {F} \setminus B$ Dedekind-szeleteket alkotnak.

A korlátos monoton sorozatok konvergenciája

A teljességnek ez a definíciója azt kívánja meg, hogy $\mathbb {F}$-ben minden korlátos monoton sorozatnak legyen határértéke. Ez a tulajdonság következik a Dedekind-féléből, hiszen egy korlátos sorozat felső határainak $B$ halmaza az $A=\mathbb {F} \setminus B$ halmazzal együtt Dedekind-szeletet alkot, és $\max A$ illetve $\min B$ határértéke a sorozatnak.

Ha a korlátos monoton sorozatok konvergensek, akkor $\mathbb {F}$ arkhimédeszien rendezett, hiszen különben konvergens volna az egész számok sorozata is. Ha viszont $\mathbb {F}$ arkhimédeszien rendezett, és $(A,B)$ egy Dedekind-szelet, akkor konstruálható olyan $B$-beli (tehát alulról korlátos) monoton csökkenő sorozat, amelynek $n$-edik eleme $1 \over n$-nél közelebb van $A$ valamely eleméhez. Ennek a sorozatnak a határértéke vagy $\max A$ vagy $\min B$, tehát a Dedekind-féle definíció következik a monoton korlátos sorozatokra vonatkozóból.

Nem-arkhimédeszi teljes rendezett testek

Példák

Számos példát találhatunk teljes rendezett testekre.