Szerkesztő:Ledy/Elemi szimmetrikus polinom

Ez a szócikk részben vagy egészben az Elementary symmetric polynomial című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként. A matematikában, különösen a kommutatív algebrában az elemi szimmetrikus polinom a szimmetrikus polinomok egyfajta építőkövei, ami azt jelenti, hogy bármely P szimmetrikus polinom kifejezhető elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként, vagyis P felírható csak az elemi szimmetrikus polinomok konstanssal való összeadásával és szorzásával. Megkaphatjuk a d fokú n változós elemi szimmetrikus polinomot (ahol d ≤ n), ha a különnemű, d fokú tagokat összeadjuk.

Definíció

Az n változós (X₁, …, X_n) elemi szimmetrikus polinomra a következő jelölést használjuk: e_k(X₁, …, X_n), ahol k = 0, 1, ..., n. A különböző k értékeire a következőket jelenti:

${\begin{aligned}e_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}$

és így tovább

$e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}$

(Néha az e_k helyett a σ_k jelölést használjuk.) Egy tetszőleges k-ra (ahol 0 ≤ k ≤ n)

$e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\cdots X_{j_{k}}.$

Ez alapján minden n-nél nem nagyobb pozitív k egészre pontosan egy n változós k fokú elemi szimmetrikus polinom létezik. Meghatározásához képezzünk az n változó felhasználásával k tényezős szorzatokat, majd ezeket adjuk össze. Tudjuk, hogy kommutatív algebrában igaz az $X_{1}X_{2}=X_{2}X_{1}$. Továbbá a polinomgyűrű az elemi szimmetrikus polinom szorzatának lineáris kombinációjára kommutatív gyűrűt alkot.

Példák

A következőkben megadjuk n első négy értékére az elemi szimmetrikus polinomokat. (Minden esetben $e_{0}=1$, ami szintén egy polinom.)

$n=1$ esetben:

${\begin{aligned}e_{1}(X_{1})=X_{1}.\end{aligned}}$

$n=2$ esetben:

${\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}$

$n=3$ esetben:

${\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}$

$n=4$ esetben:

${\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}$

Tulajdonságok

Elemi szimmetrikus polinomokat kapunk eredményül, ha az elsőfokú 1 együtthatójú polinomok szorzatát kiszámítjuk a következő azonosság szerint:

$\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).$

Helyettesítsünk számértéket minden $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ helyére. A kapott egyváltozós (λ), 1 együtthatós polinom összes gyöke az $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ számértékek lesznek. Ez egy példa egy lineáris operátor karakterisztikus polinomjára. A gyökök az operátor sajátértékei. Ha az elemi szimmetrikus polinomba behelyettesítjük a sajátértékeket, akkor a karakteres polinom együtthatóit nyerjük, ezek az operátor invariánsai. Ez a tény hasznos a lineáris algebra alkalmazásában és általánosításában, például a tenzor algebrában, és kifejezetten a tenzor mezők alkalmazásában, valamint a differenciálgeometriában. Az n változós elemi szimmetrikus polinomok halmaza generálja az n változós szimmetrikus polinomgyűrűt. Még konkrétabban megfogalmazva, a szimmetrikus polinomgyűrű egész együtthatókkal egyenlő a teljes $\mathbb {Z} [e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})]$ polinomgyűrűvel.