Ez a szócikk részben vagy egészben az Elementary symmetric polynomial című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
A matematikában, különösen a kommutatív algebrában az elemi szimmetrikus polinom a szimmetrikus polinomok egyfajta építőkövei, ami azt jelenti, hogy bármely P szimmetrikus polinom kifejezhető elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként, vagyis P felírható csak az elemi szimmetrikus polinomok konstanssal való összeadásával és szorzásával. Megkaphatjuk a d fokú n változós elemi szimmetrikus polinomot (ahol d ≤ n), ha a különnemű, d fokú tagokat összeadjuk.
Az n változós (X1, …, Xn) elemi szimmetrikus polinomra a következő jelölést használjuk: ek(X1, …, Xn), ahol k = 0, 1, ..., n. A különböző k értékeire a következőket jelenti:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfebe9f9da471bb76373f4c1cea545b4ac61887)
és így tovább
![{\displaystyle e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725849bde55ec136cd49c660325108a0362a6a11)
(Néha az ek helyett a σk jelölést használjuk.)
Egy tetszőleges k-ra (ahol 0 ≤ k ≤ n)
![{\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\cdots X_{j_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e8a36adb8abe57f119d95d9d075c0cb3c65cdc)
Ez alapján minden n-nél nem nagyobb pozitív k egészre pontosan egy n változós k fokú elemi szimmetrikus polinom létezik. Meghatározásához képezzünk az n változó felhasználásával k tényezős szorzatokat, majd ezeket adjuk össze.
Tudjuk, hogy kommutatív algebrában igaz az
. Továbbá a polinomgyűrű az elemi szimmetrikus polinom szorzatának lineáris kombinációjára kommutatív gyűrűt alkot.
A következőkben megadjuk n első négy értékére az elemi szimmetrikus polinomokat. (Minden esetben
, ami szintén egy polinom.)
esetben:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1})=X_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7d9cbc85222a7eff3f777b06d3a7aae544b6c7)
esetben:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779ea6c4205abd29511aa53c77d1800a76d90078)
esetben:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b52191790a212887638b93440e805633506e09c)
esetben:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeeeeed3dc4bbe95330630524415cf4a6fa0db94)
Elemi szimmetrikus polinomokat kapunk eredményül, ha az elsőfokú 1 együtthatójú polinomok szorzatát kiszámítjuk a következő azonosság szerint:
![{\displaystyle \prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70a66ed07e9c22365b72c527297e485c0528858)
Helyettesítsünk számértéket minden
helyére. A kapott egyváltozós (λ), 1 együtthatós polinom összes gyöke az
számértékek lesznek. Ez egy példa egy lineáris operátor karakterisztikus polinomjára. A gyökök az operátor sajátértékei. Ha az elemi szimmetrikus polinomba behelyettesítjük a sajátértékeket, akkor a karakteres polinom együtthatóit nyerjük, ezek az operátor invariánsai. Ez a tény hasznos a lineáris algebra alkalmazásában és általánosításában, például a tenzor algebrában, és kifejezetten a tenzor mezők alkalmazásában, valamint a differenciálgeometriában.
Az n változós elemi szimmetrikus polinomok halmaza generálja az n változós szimmetrikus polinomgyűrűt. Még konkrétabban megfogalmazva, a szimmetrikus polinomgyűrű egész együtthatókkal egyenlő a teljes
polinomgyűrűvel.
Szimmetrikus polinomok alaptétele[szerkesztés]