Szerkesztő:Bohocmasni/próbalap/sylvester-féle determináns

A Sylvester-féle determináns alak: két polinom együtthatóiból képzett determináns. amelynek értéke megegyezik rezultánsukéval.

Legyen a két polinom:

$a:a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots ''''+a_{1}x+a_{0}$

$b:b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots ''''+b_{1}x+b_{0}$

Ekkor R(a,b) értéke:

$\operatorname {R} (a,b)={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{vmatrix}}$

Bizonyítás:

n=0 esetén

$\operatorname {R} (a,b)={\begin{vmatrix}a_{n}&0&0&0&0&0\\0&a_{n}&0&0&0&0\\0&0&a_{n}&0&0&0\\0&0&0&a_{n}&0&0\\0&0&0&0&a_{n}&0\\0&0&0&0&0&a_{n}\\\end{vmatrix}}={a_{n}}^{m}$

ez pipa. n-t szeretnénk növelni, teljes indukcióval. Tegyük fel, hogy n-re már megvagyunk, n' = n+1-re szeretnénk. Legyen az új gyök G.

: <math> a' = a_{n+1}' x^{n+1} + a_n' x^n + \dots + a_1' x + a_0' = a (x-G) = \\
     ~ ~ ~  = (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0) (x-G) = \\
     ~ ~ ~  = a_n x^{n+1} + (a_{n-1} - G a_n) x^{n} + \dots + (a_{i-1} - G a_i) x^{i} + \dots - G a_0</math>

Amelyből meg is vannak az a és a' együtthatói között az összefüggések.

Belátjuk az így definiált determinánsra, hogy igaz rá az alábbi indukciós képlet

$R(a',b)=b(G)\cdot R(a,b)$

Teljes indukció alapján a determináns minden (n,m) párosra a rezultánst fogja adni:

${\begin{vmatrix}a'_{n+1}&a'_{n}&\cdots &&a'_{0}&&&\\&a'_{n+1}&a'_{n}&\cdots &&a'_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a'_{n+1}&a'_{n}&\cdots &&a'_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{vmatrix}}=b(G)\cdot {\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{vmatrix}}$

A baloldali kifejezést fogjuk rendezgetni:

: <math>
\begin{vmatrix}
a'_{n+1} & a'_{n} & \cdots  &        & a'_0 &  & &  \\
    & a'_{n+1}     & a'_{n} & \cdots & & a'_0 &  &  \\
    &         & \ddots  &        & & & \ddots &   \\
    &         &         & a'_{n+1}    & a'_{n} &\cdots & & a'_0  \\
b_m & b_{m-1} & \cdots  &        & b_0 &  & &  \\
    & b_m     & b_{m-1} & \cdots && b_0 & &  \\
    &         & \ddots  &        & & & \ddots &  \\
    &         &         & b_m    & b_{m-1} & \cdots  & & b_0  \\
\end{vmatrix} 
=
\begin{vmatrix}
a_n & a_{n-1} - G a_n & \cdots  &        & - G a_0 &  & &  \\
    & a_n     & a_{n-1} - G a_n & \cdots & & - G a_0 &  &  \\
    &         & \ddots  &        & & & \ddots &   \\
    &         &         & a_n    & a_{n-1} - G a_n &\cdots & & - G a_0  \\
b_m & b_{m-1} & \cdots  &        & b_0 &  & &  \\
    & b_m     & b_{m-1} & \cdots && b_0 & &  \\
    &         & \ddots  &        & & & \ddots &  \\
    &         &         & b_m    & b_{m-1} & \cdots  & & b_0  \\
\end{vmatrix} = \\

=
\begin{vmatrix}
a_n & a_{n-1} & \cdots  &        & 0 &  & &  \\
    & a_n     & a_{n-1} & \cdots & & 0 &  &  \\
    &         & \ddots  &        & & & \ddots &   \\
    &         &         & a_n    & a_{n-1} &\cdots & & 0  \\
b_m & b_{m-1} + G \cdot b_m & \cdots  &        & b(G) & G \cdot b(G)  & \cdots & G^{n+1} \cdot b(G) \\
    & b_m     & b_{m-1} + G \cdot b_m & \cdots && b(G) & \cdots & G^{n} \cdot b(G) \\
    &         & \ddots  &        & & & \ddots &  \\
    &         &         & b_m    & b_{m-1} + G \cdot b_m & \cdots  & & b(G)  \\
\end{vmatrix}
</math>

A sorokat alulról felfelé G-rel szorozva és kivonva, éppen a kívánt determinánst kapjuk, QED.