Ugrás a tartalomhoz

Szerkesztő:Bohocmasni/Koordinátageometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Koordinátageometria

- definíció (?)

A koordinátageometria, más néven analitikus geometria a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg, azaz mind a síkbeli, mind a térbeli geometriai alakzatokhoz mennyiséget rendel. A síkbeli geometriában például egy a pontnak az x-y koordináta-rendszerben egy számpár felel meg, mondjuk P(x,y). Az egyenesnek egy elsőfokú (lineáris) egyenlet; a körnek, ellipszisnek, parabolának, hiperbolának kétismeretlenes másodfokú egyenlet felel meg.
helyett:
A koordinátageometria a geometriai alakzatok, az őket meghatározó egyenletek, és a koordináta-rendszer kapcsolatát vizsgálja. A koordináta-rendszer egyik szükséges feltétele szerint minden pontot egyértelműen meghatároznak a koordinátái, tehát egy egyenlet (vagy egyenletrendszer) megoldáshalmaza egyértelműen meghatároz egy ponthalmazt; és minden ponthalmazhoz tudunk találni olyan egyenletrendszert, amelynek csak a ponthalmazunk a megoldása.
A koordináta-rendszer, a ponthalmaz és az egyenletek függésben állnak egymással. Például: Ha van egy f görbe, egy K koordináta-rendszer, és egy E egyenlet, akkor egy új, K' koordináta-rendszerben az E egyenletrendszer f->f' megoldáshalmaza geometriailag hogyan változik; vagy egy f-en elvégzett geometriai művelet milyen hatással van az őt leíró E egyenletrendszerre, stb.
A koordinátageometria segít a geometriai problémák lekezelésében, szemléletes (geometriai) jelentést ad a függvény analízisnek és a komplex számoknak s a rajta végzett műveleteknek.


- koordináta-rendszer

- koordináta-rendszer mint vektortér; egyértelműségi tétel; két lehetséges bázisvektorból következik, hogy több vektor nem bázisvektorok
- polárkoordináta-rendszer
- koordinátarendszer transzformációk mátrixokkal

- triviális alakzatok: üres-sík, teli-sík, pont (helyvektor), egyenes, kör

- másodrendű görbék

- két pont távolsága

- egyenes egyenletei

- egyenes két ponton át
- egyenes nullára rendezve
- egyenes, mint függvény
- egyenes normálvektorral
- sík normálvektorral
- Hesse féle alak
- Hesse-féle alak vektoros levezetése

- pont és egyenes előjeles távolsága

-akár több bizonyítás, skalár szorzás, Hesse-alak, diszkrimináns 0 és csak egy metszés

- háromszög determinánsa

- kör egyenlete

- körön kívül-belül

- skalár és vektorszorzás

- néhány alkalmazása

- analízis, racionális/irracionális pontok, szerkeszthetőség