Szerkesztő:Bohocmasni/Koordinátageometria

Koordinátageometria

- definíció (?)

A koordinátageometria, más néven analitikus geometria a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg, azaz mind a síkbeli, mind a térbeli geometriai alakzatokhoz mennyiséget rendel. A síkbeli geometriában például egy a pontnak az x-y koordináta-rendszerben egy számpár felel meg, mondjuk P(x,y). Az egyenesnek egy elsőfokú (lineáris) egyenlet; a körnek, ellipszisnek, parabolának, hiperbolának kétismeretlenes másodfokú egyenlet felel meg.

helyett:

A koordinátageometria a geometriai alakzatok, az őket meghatározó egyenletek, és a koordináta-rendszer kapcsolatát vizsgálja. A koordináta-rendszer egyik szükséges feltétele szerint minden pontot egyértelműen meghatároznak a koordinátái, tehát egy egyenlet (vagy egyenletrendszer) megoldáshalmaza egyértelműen meghatároz egy ponthalmazt; és minden ponthalmazhoz tudunk találni olyan egyenletrendszert, amelynek csak a ponthalmazunk a megoldása.

A koordináta-rendszer, a ponthalmaz és az egyenletek függésben állnak egymással. Például: Ha van egy f görbe, egy K koordináta-rendszer, és egy E egyenlet, akkor egy új, K' koordináta-rendszerben az E egyenletrendszer f->f' megoldáshalmaza geometriailag hogyan változik; vagy egy f-en elvégzett geometriai művelet milyen hatással van az őt leíró E egyenletrendszerre, stb.

A koordinátageometria segít a geometriai problémák lekezelésében, szemléletes (geometriai) jelentést ad a függvény analízisnek és a komplex számoknak s a rajta végzett műveleteknek.

- koordináta-rendszer

- koordináta-rendszer mint vektortér; egyértelműségi tétel; két lehetséges bázisvektorból következik, hogy több vektor nem bázisvektorok

- polárkoordináta-rendszer

- koordinátarendszer transzformációk mátrixokkal

- triviális alakzatok: üres-sík, teli-sík, pont (helyvektor), egyenes, kör

- másodrendű görbék

- két pont távolsága

- egyenes egyenletei

- egyenes két ponton át

- egyenes nullára rendezve

- egyenes, mint függvény

- egyenes normálvektorral

- sík normálvektorral

- Hesse féle alak

- Hesse-féle alak vektoros levezetése

- pont és egyenes előjeles távolsága

-akár több bizonyítás, skalár szorzás, Hesse-alak, diszkrimináns 0 és csak egy metszés

- háromszög determinánsa

- kör egyenlete

- körön kívül-belül

- skalár és vektorszorzás

- néhány alkalmazása

- analízis, racionális/irracionális pontok, szerkeszthetőség