Szerkesztő:05storm26/zéruselem

A matematikában, a zéruselem egy általánosítása a nulla számnak, más algebrai szerkezetekre. Ezek az általánosítások néha teljesen visszavezethetőek az ugyanarra a koncepcióra, néha nem feleltethető meg ilyen kapcsolat egyértelműen.

Additív neutrális elemek

Az additív neutrális elem az összeadás neutrális eleme. Ez az elem teljesíti a 0 + x = x. egyenletet. Példák ilyen elemekre, különböző rendszerekben:

• A nullvektor a vektor összeadásban.
• A nullfüggvény vagy null leképezés, tehát a z(x) = 0, a függvények összeadásánál, (f + g)(x) = f(x) + g(x), mivel z + f = f.
• Az üres halmaz a halmazok összeadásában.
• Egy üres szummafügvény.
• Egy initial object a kategóriaelméletben.

Abszorbáló elemek

Az abszorbáló elemek a szorzás során "elnyelik" a másik operandust, vagyis 0 × x = 0.

• Az üres halmaz, amely elnyeli az elemeket a Descartes-szorzat során, mivel {} × S = {}
• A nullfüggvény vagy null leképezés, tehát: z(x) = 0, a függvények szorzása során, (f × g)(x) = f(x) × g(x), mivel z × f = z.

A legtöbb abszorbáló elem additív neutrális elem is, pl.: az üres halmaz és a null függvény.

A legkisebb elem

A legkisebb elem a részbenrendezett halmazban vagy egy hálóban tekinthető zéruselemnek is, és 0-val vagy a ⊥ jellel jelölik.

Zéró modulus

A zéró modulus egy olyan modulus ami egyetlen elemet tartalmaz, az additív neutrális elemet. A zéró modulus, modulus mivel zárt gyűrűt alkot az összeadásra és a szorzásra nézve.

Zéró ideál

A zéró ideál egy $R$ gyűrűben a $\{0\}$ ideál, tehát egy olyan részhalmaz ami csak az additív neutrális elemet tartalmazza.

Nullmátrix

A nullmátrix egy olyam mátrix amelynek minden eleme nulla. Példák nullmátrixokra:

$0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\$

Egy m×n mátrix és egy $K\,$ gyűrű $K_{m,n}\,$ modulust formál. A nullmátrix $0_{K_{m,n}}\,$ egy mátrix $K_{m,n}\,$-ben aminek minden eleme $0_{K}\,$ ahol $0_{K}\,$ jelöli $K\,$, additív neutrális elemét.

$0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}$

Ez a nullmátrix az additív neutrális elem a $K_{m,n}\,$ modulusban, vagyis minden $A\in K_{m,n}\,$-re teljesül, hogy:

$0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A$

Mineden m×n-es dimenzióhoz és egy gyűrűhöz pontosan egy ilyen mátrix tartozik, ezért gyakran csak úgy hivatkoznak rá mint a nullmátrix. Általában csak 0-val jelölik mindenféle egyéb index nélkül.

A nullmátrix megfeleltethető egy lineáris transzformációnak ami minden vektorhoz a nullvektort rendeli.

Nulltenzor

A nulltenzor egy olyan tenzor aminek minden eleme nulla. Az elsőrendő nulltenzor a nullvektor.

Tenzorok szorzásánál bármely tenzor szorozva bármely nulltenzorral nulltenzort eredményez. Nulltenzor hozzáadása nem változtat az eredeti tenzoron(tehát a nulltenzor ennek a műveletnek az additív inverze is).

Zérusosztó

A zérusosztó egy R gyűrűben egy nemnegatív elem, a ∈ R úgy, hogy ab = 0 bármely nemnulla b ∈ R-re.

Kapcsolat a neutrális elemmel

Az additív neutrális elem, és az abszorbáló elemek sok rendszerben megegyeznek a zéruselemmel, de ez nem szükségszerűen igaz.

Lásd még

• Nulla mint általános, nem matematikai koncepció.
• Neutrális elem, egy másik fontos tulajdonságú elem ami különböző absztrakciókban más és más.