Szerkesztő:05storm26/Mi az a dx?

A középiskolai fizikában és analízsben a vektort úgy definiáltuk mint nagysággal ellátott irányultságot. A pozíció fogalma sehol nem jelenik ebben a definícióban.

(A fenti fogalom a szabad vektornak felel meg)

A pozíció hozzáadásával kapjuk a kötött vektorok fogalmát. Ha $v$ egy vektor és $p$ pedig egy pont akkor, $v_{p}$ jelölje azt a kötöttvektort, amely a $v$ vektorhoz és a $p$ ponthoz tartozik.

Legyen most $f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ egy sima (végtelenszer deriválható) függvény, amely a valós síkot képzi le a valós számegyenesre. Ekkor minden $p\in \mathbb {R} ^{2}$-hez vehetjük az $f$ iránymenti deriváltját abban a pontban, tetszőleges irány mentén. Például ha adottak az $(x;y)$ koordináták akkor $\left.{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right|_{p}$ jelöli $f$ iránymenti deriváltját a $p$ pontban az $x$ növekvő irányába. Ha az x csökkenő irányába akarjuk venni az iránymenti deriváltat akkor ez $-\left.{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right|_{p}$.

Sőt vehetünk tetszőleges irányultságot, például úgy, hogy veszünk egy tetszőleges kötött vektort $p$-ben; ekkor ehhez tartozik $f$ egy iránymenti deriváltja $p$-ben, amelynek iránya megegyezik a kötött vektor irányával. Vagyis a $p$ pontban x növekvő irányában való irányított derivált vétele megegyezik a $\left.{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{p}$ operátor/művelet alkalmázásával a függvényen. Az ellentétes irányban vett deriváltot a $-\left.{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{p}$ művelet alkalmazása adja. Egy lépésel továbbmenve azt mondhatjuk, hogy a kötött vektorok és az iránymenti deriváltak ugyanazt a dolgot jelentik. Ez elsőre lehet, hogy meglepp, de ez csak annyit jelent, hogy minden kötött vektorhoz tartozik egy iránymenti derivált amelynek ugyanaz az iránya és a nagysága. Ha egy síkon vagyunk akkor $\left.{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{p}$-t ${\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}_{p}^{T}$-nek feleltethetjük meg míg $\left.{\frac {\partial }{\partial y}}\right|_{p}$-t ${\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}_{p}^{T}$-ként azonosíthatjuk.

A transzponáltakat azért használjuk, hogy a kötött vektorokat oszlopmátrixok reprezentálják. Így a sorvektorokat alkalmazhatjuk rájuk egy baloldali szorzással. Ez gyakorlatilag a skalárszorzatnak felel meg. Vagyis a sorvektorokat tekinthetjük úgy, min lináris függvényeket, amelyek leképezik az oszlopvektorokat a valós számok terére. Ezeket a lineáris függvényeket a tér egy ponjához kötni (lásd Duális tér), mint ahogy tettük ezt a kötött vektorokkal így kaptuk a kotangens vektorokat. A síkon azokat a kotangesvektorokat $\alpha _{p}$ amelyekre teljesül, hogy $\alpha _{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{p}\right)=1$ illetve $\alpha _{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial y}}\right|_{p}\right)=0$ úgy jelüljük hogy: $\mathrm {d} x_{p}$

A vektormező elve a többváltozós analízisben a legjobban a kötött vektorokkal érthető meg. Ugyanis a fentiek alapján a vektormező egyszerűen csak egy függvény ami a $\mathbb {R} ^{n}$ pontjaihoz az adott ponthoz tartozó kötött vektort rendeli hozzá. Hasonlóan az 1-differenciális alak úgy definiálható mint egy függvény ami a ami a $\mathbb {R} ^{n}$ pontjaihoz az adott pontbeli kotengens vektort rendeli. Például a: $dx:p\mapsto dx_{p}$ függvény egy 1-differenciális alak. Így $dx$ egyszerűen csak egy 1-differnciál alak ami minden $p$ pontot leképez a $dx_{p}$ kotangensvektorra amely kielégíti a $\mathrm {d} x_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{p}\right)=1$ egyenletet és $\mathrm {d} x_{p}(v_{p})=0$ minden $v_{p}\not \in \left(\left.{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{p}\right)$-re.

Hogyan értelmezhető ez úgy mint infinitezimális?

Úgy, hogy $df$ egy függvény amely az adott pont elmozdulása esetén $f$ megváltozásával egyenlő, vagyis $df$ egy kötött vektorokon értelmezett függvény.

Határozatlan integrál Késztetést érezhetünk arra, hogy csak azt mondjuk, hogy $\int \mathrm {d} \alpha =\alpha$, de ennek a jelentése nem lenne jól definniált. Jelölje a $\mathbb {R} ^{n}$ feletti k-differnciál alakok által alkotott teret $\Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})$. Ha $\alpha \in \Omega ^{k+1}(\mathbb {R} ^{n})$, akkor $\alpha =\mathrm {d} \beta$ valamely $\beta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})$-ra, de ekkor az is teljesül, hogy: $\alpha =\mathrm {d} (\beta +\mathrm {d} \gamma )$. Vagyis nincs egyértelmű k-differenciális leképezés $\alpha$-ra.