Számelméleti függvények

Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis $f:\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ alakú függvényekről van szó.

Példák

Rengetegféle számelméleti függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány nevezetes függvény nevét (ha van) és jelét foglaljuk össze. (A továbbiakban jelölje $\mathbb {P}$ a pozitív prímszámok halmazát.)

Egész értékű számelméleti függvények

jel	név (nevek)	jelentés	definitív képlet(ek)
d(n)	osztószám-függvény	az argumentum osztóinak száma	$\mathbb {N} ^{+}\rightarrow \mathbb {N} ;$ $d(n)$ := $|\{k\in \mathbb {N} \ |\ k|n\}|$ := $\sum _{d|n}d^{0}$
σ(n)	osztóösszeg-függvény (szigma-függvény)	az argumentum osztóinak összege	$\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ;\ \sigma (n)\ :=\ \sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d\leq n}\end{matrix}}d$
s(n)	valódiosztóösszeg-függvény	az argumentum valódi osztóinak összege	$\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ;\ s(n)\ :=\ \sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d<n}\end{matrix}}d$
σx(n)	osztóhatványösszeg- függvény	az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege	$\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$; $\sigma _{x}(n)$ $:=$ $\sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d\leq n}\end{matrix}}d^{x}$ (x∈R)
P(n)	osztószorzat-függvény	az argumentum osztóinak szorzata	$\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ;\ P(n)\ :=\ \prod _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d\leq n}\end{matrix}}d$
ν(n)	nű-függvény	az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva)	–
χ(n)	khí-függvény	az argumentum különböző prímtényezőinek száma	$\mathbb {N} ^{+}\rightarrow \mathbb {N} ;$ $\chi (n)$ := $|\{p\in \mathbb {P} \ |\ p|n\}|$ := $\sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{p|n}\\{\mbox{ }}_{p\in \mathbb {P} }\end{matrix}}p^{0}$
φ(n)	Euler-függvény (fí-függvény)	az argumentumhoz relatív prím, nála nem nagyobb pozitív egészek száma	N→N; φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n  ∧  (n, k)=1 }│
μ(n)	Möbius-függvény (mű-függvény)	egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény	$\mathbb {N} ^{+}\rightarrow \left\{-1,0,1\right\}$; $\mu \ (n)$ $:=$ ${\begin{cases}1,&{\mbox{ha }}n=1;\\(-1)^{\chi (n)},&{\mbox{ha }}n=p_{1}p_{2}...p_{\chi (n)};\\0,&{\mbox{ha}}\ \exists p\in \mathbb {P} :\ p^{2}|n{\mbox{.}}\\\end{cases}}$
π(n)	diszkrét prímszámláló függvény	az argumentumnál nem nagyobb prímek száma	N→N; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│
g(n)	lnko-összeg-függvény	az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege	$g(n)\ :=\ \sum _{i=1}^{n}(n,i)$

Valós értékű számelméleti függvények

• A Λ(n) von Mangoldt-függvény: $\Lambda (n)\ :=\ {\begin{cases}\ln p&{\mbox{ha }}\ \exists \left(p,k\right)\in \mathbb {P} \times \mathbb {N} ^{+}:\ n=p^{k};\\0&{\mbox{egy}}{\acute {e}}{\mbox{bk}}{\acute {e}}{\mbox{nt.}}\end{cases}}$

Komplex értékű számelméleti függvények

• A Riemann-féle zéta-függvény
• Ha k pozitív egész, a mod(k) Dirichlet-karakterek fontos speciális függvényosztály.

Fontosabb fogalmak

Additivitás és multiplikativitás

• Egy $\ f\$ számelméleti függvény additív, ha bármely $a,b\in \mathbb {N}$, $\ (a,b)=1\$ esetén $\ f(ab)=f(a)+f(b)\$. Ha az $\ (a,b)=1\$ feltétel elhagyható, akkor totálisan additív számelméleti függvényről beszélünk.
• Egy $\ f\$ számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely $a,b\in \mathbb {N}$, $\ (a,b)=1\$ esetén $\ f(ab)=f(a)f(b)\$. Ha az $\ (a,b)=1\$ feltétel elhagyható, akkor totálisan multiplikatív számelméleti függvényről beszélünk.

Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció)

Két számelméleti függvény (Dirichlet-)konvolúcióját így definiálják:

$(f*g)(n):=\sum _{d\mid n}f\!\left({\frac {n}{d}}\right)g(d),\quad n\in \mathbb {N} ,$

ahol d végigmegy n összes osztóján.

Egy f számelméleti függvény összegfüggvénye megkapható a konstans 1 függvénnyel való konvolválással:

$F(n)=(f*I^{0})(n)=\sum _{d\mid n}f(d),\quad n\in \mathbb {N} .$

ahol $I^{0}$ a konstans 1 függvény.

$I^{0}$ invertálható a konvolválásra; inverze a Möbius-féle μ függvény. Ebből adódik a Möbius-féle megfordítási képlet, amivel az összegfüggvényből visszanyerhető a függvény.

A konvolúcióra teljesülnek a következők:

• Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív
• Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem biztos, hogy teljesen multiplikatív
• Minden számelméleti függvény invertálható, ami az 1 helyen nem nulla
• Ez az inverz éppen akkor multiplikatív, ha az eredeti függvény is az
• Teljesen multiplikatív függvény inverze nem feltétlenül teljesen multiplikatív
• A konvolúció egységeleme a η függvény, amit így értelmeznek: η(1)=1, és η(n)=0, ha n>1.
• A számelméleti függvények algebrai struktúrája a komponensenkénti összeadásra, a skalárral szorzásra, és a konvolúcióra nézve:
  • komplex vektortér
  • integritási tartomány
  • algebra
• Ennek a struktúrának a multiplikatív csoportját azok a függvények alkotják, amik nem tűnnek el az 1 helyen.
  • Ennek valódi részcsoportja a multiplikatív függvények csoportja.

A konvolúció helyett a komponensenkénti szorzással is kommutatív algebrát alkotnak, ez azonban számelméletileg nem érdekes. Ez az algebra izomorf a komplex számsorozatok algebrájával.

Bell-sorozat

Ha f számelméleti függvény, és p adott prím, akkor f Bell-sorozata így definiálható modulo p:

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

Belátható, hogy két számelméleti függvény azonos, ha összes Bell-sorozatuk megegyezik. Két számelméleti függvény egyenlő akkor és csak akkor, ha:

$f_{p}(x)=g_{p}(x)$ minden p prímre.

Jelölje most f és g konvolúcióját h. Ekkor minden p prímre:

$h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,$

Ezzel könnyű Dirichlet-invertálni a számelméleti függvényeket.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor:

$f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.$

Néhány számelméleti függvény Bell-sorozata:

• A $\mu$ Möbius-függvényé $\mu _{p}(x)=1-x.$
• Az Euler-féle $\phi$ függvényé $\phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.$
• A $\nu$ függvényé $\nu _{p}(x)=1.$
• A $\lambda$ Liouville-függvényé $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$
• Az Id_k hatványfüggvényé $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$ Id_k a teljesen multiplikatív hatványfüggvény: $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$.
• A $\sigma _{k}$ osztóösszeg-függvényé $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.$

Források

• Freud–Gyarmati: Számelmélet
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

Külső hivatkozások

• W. W. L. Chen: Distribution of prime numbers (angol nyelvű PDF)