Spouge-formula

A Spouge-formula egy közelítő képlet a Gamma-függvényre, amit John L. Spouge fejlesztett ki. Tulajdonképpen a Stirling-formula egy javított változata:

$\Gamma (z+1)=(z+a)^{z+1/2}e^{-(z+a)}\left[c_{0}+\sum _{k=1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\epsilon _{a}(z)\right]$

ahol a egy megfelelően választott pozitív egész. Az együtthatók a következőképpen számíthatóak:

$c_{0}={\sqrt {2\pi }}\,$

$c_{k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}(-k+a)^{k-1/2}e^{-k+a}\quad k=1,2,\dots ,a-1.$

Spouge bizonyította, hogy ha Re(z) > 0 és a > 2, a relatív hiba a következőképpen becsülhető

$|\epsilon _{a}(z)|\leq a^{-1/2}(2\pi )^{-(a+1/2)}.$

A képlet hasonló, mint a Lánczos-formula, de vannak előnyei vele szemben. A Lánczos-formula gyorsabban konvergál ugyan, de a Spouge-féle együtthatók kiszámítása sokkal egyszerűbb, és a relatív hiba tetszőleges kicsinnyé tehető. A képlet tehát alkalmas a Gamma-függvény értékeinek tetszőleges pontosságú meghatározására.

Források

• Spouge, John L. "Computation of the gamma, digamma, and trigamma functions", SIAM Journal on Numerical Analysis 31 (1994), no. 3, 931-944.