Schwinger–Dyson-egyenlet

Freeman Dyson 2005-ben

A Schwinger–Dyson-egyenletek általános összefüggések a kvantumtérelméletben (QFT) lévő korrelációs függvények között. Az egyenleteket a kvantumelektrodinamika két meghatározó kutatójáról, Julian Schwingerről és Freeman Dysonról nevezték el. A Schwinger−Dyson-egyenletek a kvantumtérelméletbeli megfelelői a klasszikus elméletben használt Euler–Lagrange-egyenleteknek. Azonban fontos megjegyezni, hogy az Euler−Lagrange-egyenletek "csak" valós parciális differenciálegyenletek, míg az SD-egyenletek operátorértékű eloszlásokra vonatkozó funkcionálegyenletek egy végtelen dimenziós Hilbert-térben.

Dyson "The S-Matrix in Quantum electrodynamics" (Az S-mátrix a kvantumelektrodinamikában) című tanulmányában perturbatív kvantumelekrodinamikai megközelítésből indult ki. A levezetésben végtelen sok Feynman-diagram összegzésével származtatott összefüggéseket a különböző a Heisenberg-féle S-mátrixelemek – vagy más néven egy-részecske Green-függvények – között. Schwinger a variációs elvéből kiindulva egy egyenletrendszert állított fel a kvantumtérelméleti Green-függvényekre nem-perturbatív módon, amelyek a Dyson-egyenleteket a kvantumtérelméleti Green-függvényekre vett általánosításai, és amit Schwinger–Dyson-egyenleteknek nevezünk. A Schwinger és Dyson által kidolgozott megközelítés a relativisztikus kvantumtérelmélet nem-perturbatív módszerei közé tartozik, és az elméleti fizika számos területén, mint például a szilárdtestfizikában és az elemi részecskefizikában is megtalálhatók az alkalmazásai.

Schwinger egy másik egyenletet is levezetett a kétrészecske irreducibilis Green-függvényekre, amelyre manapság inhomogén Bethe–Salpeter-egyenletként hivatkozunk.

Levezetés

Legyen adott egy polinomiális korlátos funkcionál $F$ a tér konfigurációk felett, majd legyen ennek bármely állapotvektorra (amely a QFT megoldása) $|\psi \rangle$, ekkor érvényes a

$\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle$

összefüggés, ahol $S$ a hatásfunkcionál és ${\mathcal {T}}$ az időrendezés.

Kifejezés megadható ekvivalens módon sűrűségállapot-formalizmusban. Legyen adott bármely (érvényes) sűrűségi állapot $\rho$, ekkor a Schwinger–Dyson-egyenlet

$\rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right).$

Ezen egyenletek végtelen halmaza megadja a relativisztikus kvantumtérelméleti korrelációs függvények nem perturbatív megoldását.

Érdemes átalakítani az egyenleteket, megmutatva a Feynman-diagrammokal való kapcsolatot, a jobb megértés érdekében. Az $S$-operátor felbontható, mint

$S[\varphi ]={\frac {1}{2}}\varphi ^{i}D_{ij}^{-1}\varphi ^{j}+S_{\text{int}}[\varphi ],$

ahol az első tag a kvadratikus rész, ahol $D^{-1}$ egy invertálható szimmetrikus (fermionokra antiszimmetrikus) kovariáns tenzor. A $D$-t csupasz (bare, vagy Feynman) propagátornak nevezzük és $S_{\text{int}}[\varphi ]$ fejezi ki az extra kölcsönhatást. A felbontást követően átírhatjuk az SD-egyenleteket a következőképpen:

$\langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\varphi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{{\text{int}},i}D^{ij}\}|\psi \rangle .$

Ha az $F$ a $\varphi$ mező funkcionálja, akkor $F[\varphi ]$definicíó szerint megadható a követkő módon.

$F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n})$

és $G$ funkcionálja $J$-nek, akkor

$F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].$

Ha létezik a $J$ forrásmezőnek egy analitikus (a függvény előállítható egy lokálisan konvergens hatványsorból) $Z$ funkcionálja generátor fukncionál), akkor definíció szerint felírható a következő egyenlet

${\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\rangle ,$

ekkor a funkcionális integrálok tulajdonságaiból felírható a

${\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[\varphi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0$

egyenlet. A generátor funkcionálra vett Schwinger–Dyson-egyenlet pedig a következő lesz

${\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0.$

Ha ezt az egyenletet Taylor-sorozatba fejtjük a $J=0$-ban, akkor megkapjuk a Schwinger–Dyson-egyenleteket

Példa: φ⁴ elmélet

Például tegyük fel, hogy a hatás a következő módon néz ki

$S[\varphi ]=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi (x)\partial _{\mu }\varphi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi (x)^{4}\right)$

ahol φ egy valós mező. Ekkor a mező szerinti derivált,

${\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi (x)-m^{2}\varphi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\varphi ^{3}(x).$

A Schwinger–Dyson-egyenlet pedig ehhez a konkrét példához a következő lesz:

$i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z[J]+J(x)Z[J]=0$

Vegyük figyelembe, hogy mivel a

${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}$

nem pontosan meghatározott, mert

${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z[J]$

egy disztribúciója a $x_{1}$, $x_{2}$ és $x_{3}$-nak. Ezért az egyenletet regularizálni kell.

Ebben a példában a D csupasz propagátor a $-\partial ^{\mu }\partial _{\mu }-m^{2}$ Green-függvénye így a Schwinger–Dyson-egyenletek a következők lesznek:

${\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]={}&iD(x_{0},x_{1})+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{2}\,D(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}$

és

${\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[6pt]={}&iD(x_{0},x_{1})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle +iD(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+iD(x_{0},x_{3})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{4}\,D(x_{0},x_{4})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}$

stb.

(Hacsak nincs spontán szimmetriasértés, a páratlan korrelációs függvények eltűnnek.)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schwinger-Dyson equation című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk

Nem sok könyv foglalkozik a Schwinger–Dyson-egyenletekkel. Íme három szabványos hivatkozás:

• Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber. Quantum Field Theory. McGraw-Hill (1980). ISBN 9780070320710 
• R.J. Rivers. Path Integral Methods in Quantum Field Theories. Cambridge University Press (1990) 
• V.P. Nair. Quantum Field Theory A Modern Perspective. Springer (2005) 
• Peskin-Schröder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley (1995)

Van néhány áttekintő cikk a Schwinger–Dyson-egyenletek alkalmazásáról a fizika egyes speciális területére vonatkozóan. A kvantum-színdinamikai alkalmazásokhoz léteznek

• R. Alkofer and L. v.Smekal (2001). „On the infrared behaviour of QCD Green's functions”. Phys. Rep. 353 (5–6), 281. o. DOI:10.1016/S0370-1573(01)00010-2. 
• C.D. Roberts and A.G. Williams (1994). „Dyson-Schwinger equations and their applications to hadron physics”. Prog. Part. Nucl. Phys. 33, 477–575. o. DOI:10.1016/0146-6410(94)90049-3.