Redukált állapotegyenlet

A kritikus állapotjelzők és a van der Waals-állandók kapcsolata

A van der Waals-egyenlet elemzése alapján fontos általános következtetésre juthatunk a reális gázokra vonatkozóan. Ha az összefüggést a kritikus állapotnak megfelelő adatokkal felírjuk és kifejezzük a nyomást, az alábbi összefüggéshez jutunk:

$p_{\mathrm {c} }={\frac {RT_{\mathrm {c} }}{V_{\mathrm {c} }-b}}-{\frac {a}{V_{\mathrm {c} }^{2}}}\ .$

A kritikus hőmérsékletnek megfelelő izotermának inflexiós pontja van, ezért itt a függvény első és második differenciálhányados értéke nulla. Ezt a deriválási műveleteket elvégezve:

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} V}}=-{\frac {RT_{\mathrm {c} }}{(V_{\mathrm {c} }-b)^{2}}}+{\frac {2a}{V_{\mathrm {c} }^{3}}}=0\ ,$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}p}{\mathrm {d} V^{2}}}={\frac {2RT_{\mathrm {c} }}{(V_{\mathrm {c} }-b)^{3}}}-{\frac {6a}{V_{\mathrm {c} }^{4}}}=0\ ,$

a három egyenletből a van der Waals-egyenlet a, b és R állandója segítségével a kritikus állapotjelzők kiszámíthatók:

a kritikus térfogat: $V_{\mathrm {c} }=3b\ ,$

a kritikus nyomás: $p_{\mathrm {c} }={\frac {a}{27b^{2}}}\ ,$

és a kritikus hőmérséklet: $T_{\mathrm {c} }={\frac {8a}{27bR}}\ .$

E kifejezések lehetőséget nyújtanak a kritikus adatok ismeretében a van der Waals-egyenlet állandóinak a kiszámítására is:

$a=3p_{\mathrm {c} }V_{\mathrm {c} }^{2}\ ,$

$b={\frac {V_{\mathrm {c} }}{3}}\ ,$

$R={\frac {8}{3}}{\frac {p_{\mathrm {c} }V_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}\ .$

A redukált állapotegyenlet

Ha a van der Waals-egyenletben behelyettesítjük az állandók helyére a kritikus állapotjelzőkkel kifejezett adatokat, akkor a

$\left(p+{\frac {3p_{\mathrm {c} }V_{\mathrm {c} }^{2}}{V^{2}}}\right)\left(V-{\frac {V_{\mathrm {c} }}{3}}\right)={\frac {8}{3}}p_{\mathrm {c} }V_{c}\ {\frac {T}{T_{\mathrm {c} }}}\ .$

kifejezést kapjuk, amelyet célszerűen megszorozva

${\frac {3}{p_{\mathrm {c} }V_{\mathrm {c} }}}\ .$

kifejezéssel, a

$\left({\frac {p}{p_{\mathrm {c} }}}+3{\frac {V_{\mathrm {c} }^{2}}{V^{2}}}\right)\left(3{\frac {V}{V_{\mathrm {c} }}}-1\right)=8{\frac {T}{T_{\mathrm {c} }}}\ .$

összefüggést kapjuk.

Bevezetve az ún. redukált állapotjelzők fogalmát:

a redukált nyomás:

$p_{\mathrm {r} }={\frac {p}{p_{\mathrm {c} }}}\ ,$

a redukált hőmérséklet:

$T_{\mathrm {r} }={\frac {T}{T_{\mathrm {c} }}}\ ,$

a redukált térfogat:

$V_{\mathrm {r} }={\frac {V}{V_{\mathrm {c} }}}\ ,$

és a fenti kifejezésbe ezeket behelyettesítjük, akkor a redukált állapotegyenlethez jutunk:

$\left(p_{\mathrm {r} }+{\frac {3}{V_{\mathrm {r} }^{2}}}\right)(3V_{\mathrm {r} }-1)=8T_{\mathrm {r} }\ .$

Ez az egyenlet nem tartalmaz egyedi állandókat, hanem az általános gáztörvényhez hasonlóan az állandói függetlenek az anyagi minőségtől. A pontossága azonban csak a van der Waals-egyenlet pontosságával egyezik meg, mert az volt a kiindulási egyenlet.

A megfelelő állapotok tétele

A redukált állapotegyenlet alapján azt lehet állítani, hogy létezik egy olyan

$f(p_{\mathrm {r} },V_{\mathrm {r} },T_{\mathrm {r} })=0\ ,$

individuális állandók nélküli függvény, amely a redukált állapotjelzőkkel kifejezve, a számított állapotjelző értéke egyezik a tapasztalattal. A különféle anyagok egyéni állapotegyenlete a redukált állapotjelzők bevezetésével egységes alakúra hozható. Ha egy anyagra ismert két redukált állapotjelző, a harmadik kiszámítható.

A megfelelő állapotok tétele azt mondja ki, hogy ha két vagy több anyag redukált állapotjelzői megegyeznek, akkor azok azonos állapotban vannak.