Rögzített csomópontú integrálás

A numerikus analízisben azok az eljárások, amelyek esetén az optimalizálás kizárólag a $w_{i}$ súlyok által történik. Polinomiális interpolációra alapozott integrálási módszerek vagy egyenlő közű csomópontok módszerei. Lényegében az $(a,b)$ intervallumot egyenlő részekre osztjuk úgy, hogy $x_{i}=a+id$, ahol $d=(b-a)/n$.

Lagrange-féle interpolációs módszer

A módszer lényege abban áll, hogy a primitív függvénnyel nem rendelkező ƒ(x) függvényt megközelítjük a Lagrange-féle interpolációs polinommal, melynek primitív függvényét könnyen ki tudjuk értékelni.

$I_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f_{i}\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=\sum _{i=0}^{n}l_{i}(x)f_{i}\approx f(x)$

Egy $n$-ed fokú polinomtól megkívánható, hogy áthaladjon az $n+1$ darab $x_{i}$ ponton. Az $\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}f_{i}$ ból következik, hogy $w_{i}=\int _{a}^{b}l_{i}(x)dx\$.

A Lagrange-interpolációs módszer tökéletes pontosságú megközelítést biztosít, amennyiben $f(x)\in \prod _{n}$.

Innen következik, hogy $f(x)$-nek az $I_{n}(x)$ polinommal való közelítése egzakt, ha az ${x_{i},f_{i}}$ értékpárok egy $n$ vagy annál kisebb fokú polinom behelyettesítési értékeinek kiszámításából származnak.

Ismeretlen együtthatók módszere

Megfordítva a gondolatmenetet, kimutatható, hogy amennyiben a $\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}f_{i}$ közelítés egzakt minden olyan polinomra, melynek foka ≤ n, akkor az együtthatókra fennáll $w_{i}=\int _{a}^{b}l_{i}(x)dx\$.

Ezt könnyen igazolhatjuk, figyelembe véve, hogy $l_{i}(x)\in \prod _{n}$ és ugyanakkor a $\int _{a}^{b}l_{i}(x)=\sum _{j=0}^{n}w_{j}l_{i}(x_{j})=w_{i}\ ,$ összefüggéseket. Ennek következményeképpen, ha megköveteljük, hogy az $f(x)=1,x,x^{2},...,x^{n}$ elemi polinomokra, melyek kifeszítik a teret, egzaktul fennálljon $\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}f_{i}$, akkor az $n+1$ darab $w_{i}$-re felírt lineáris egyenlet megoldásaként megkapjuk a keresett együtthatókat.

Példaképpen vegyük a hárompontos integrálási képlet esetét, melytől elvárjuk, hogy egzakt eredményt adjon minden ≤2 fokú polinomra. A képletet a

$\int _{0}^{1}f(x)dx\approx w_{0}f(0)+w_{1}f({\frac {1}{2}})+w_{2}f(1)\ ,$

alakban írjuk fel. Az $f(x)=1,x$ és $x^{2}$ próbafüggvényeket használva. Az így keletkezett egyenletrendszer megoldása $w_{0}=1/6,w_{1}=2/3,w_{2}=1/6$. Az integrálási összegképlet linearitása folytán pontos értéket kapunk minden, $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$ alakú polinomra.

Általános esetben, az $[a,b]$ intervallumon történő integrálás $n+1$ pontban vett kvadratúra segítségével való megközelítésekor, az együtthatókat a következő lineáris egyenletrendszer megoldása szolgáltatja:

${\begin{pmatrix}1&1&1&\dots &1\\x_{0}&x_{1}&x_{2}&&x_{n}\\x_{0}^{2}&x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{n}^{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{n}&x_{1}^{n}&x_{2}^{n}&\dots &x_{n}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{0}\\w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F_{0}(b)-F_{0}(a)\\F_{1}(b)-F_{1}(a)\\F_{2}(b)-F_{2}(a)\\\vdots \\F_{n}(b)-F_{n}(a)\end{pmatrix}}$

ahol $F_{k}(x)=x^{k+1}/(k+1)$.

Intervallumcsere

Minden esetben a $w_{i}$ együtthatók értékei függnek az integrálási tartomány $a$ és $b$ végpontjaitól. Viszont kényelmetlen lenne egy lineáris egyenletrendszert megoldani minden olyan esetben, amikor változnak az integrálási határok. Célunk tehát egy tetszőleges $[a,b]$ intervallumon megközelíteni egy integrált, melynek kvadratúraképlete előzőleg már ismert egy másik $[c,d]$ tartomány esetén, mégpedig:

$\int _{c}^{d}f(t)dt\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}f(t_{i})\ .$

Legyen a megközelítés pontos bármely $f(x)\in \prod _{m}$. Bár az előbbiekben mindenütt fennállt az $m=n$ egyenlőség, ez nem általános érvényű szabály. $m$ lehet kisebb mint $n$, és mint a következő részben látni fogjuk, lehet nagyobb is.

A $[c,d]{\xrightarrow {\lambda (t)}}[a,b],\qquad \lambda (t)={\frac {b-a}{d-c}}t+{\frac {ad-bc}{d-c}}$

transzformációval egymásra képezzük le a két intervallumot. Elvégezve az $x=\lambda (t)$ változócserét és felhasználva, hogy $dx=(b-a)/(d-c)dt$

$\int _{a}^{b}f(x)dx={\frac {b-a}{d-c}}\int _{c}^{d}f(\lambda (t))dt\approx {\frac {b-a}{d-c}}\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(\lambda (t_{i}))\ .$

Az intervallumcsere nem a rögzített csomópontközű eljárások sajátja. Azonos módon használható majd a Gauss-kvadratúrák esetén is.

Newton–Cotes-kvadratúraképletek

Ugyanebbe a kategóriába tartoznak a Newton–Cotes-kvadratúraképletek (Newton–Cotes-formula), melyeknek lényege ugyancsak az, hogy az a,b intervallumot felossza n darab, h=(b-a)/n hosszúságú szakaszra. A módszer bevezeti a Cotes-féle állandókat, melyek nem függnek sem a függvénytől, sem az intervallum határaitól.

Forrásanyag

• Numerikus módszerek - Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc