Poszinomiális függvény

A poszinomiális függvények a polinomok általánosításai, ahol is minden valós kitevő megengedett. Geometrikus programok megadásához használják őket.

Definíció

Legyen $\mathbb {R} _{++}^{n}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{i}>0{\text{ ha }}i=1,\dots ,n\}$, továbbá $c_{k}>0$ minden $k=1,\dots ,N$ esetén. Ekkor az

$f\colon \mathbb {R} _{++}^{n}\to \mathbb {R}$

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{N}c_{k}x_{1}^{a_{1,k}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{a_{n,k}}$

függvények poszinomiális függvények. A kitevők valósak, $a_{i,j}\in \mathbb {R}$. Ha az összeg egyetlen tagból áll, akkor monomiális függvényről van szó.

Példák

Az

$f(x_{1},x_{2})={\frac {{\sqrt {x_{1}}}x_{2}+x_{2}^{2{,}3}}{x_{1}x_{2}}}$

függvény poszinomiális, normálalakja

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{-0{,}5}+x_{1}^{-1}x_{2}^{1{,}3}$

Az

$f(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {x_{1}^{17}x_{2}}{x_{3}^{\sqrt {2}}}}$

függvény monomiális, normálalakja

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{17}x_{2}x_{3}^{-{\sqrt {2}}}$

Tulajdonságok

• A poszinomiális függvények zártak szorzásra, összeadásra és skalárral való szorzásra.
• A monoszinomiális függvények zártak szorzásra, osztásra és skalárral való szorzásra.
• A poszinomiális függvények (konvex) kúpot alkotnak az $\mathbb {R} _{++}^{n}\to \mathbb {R}$ függvények terében. Ebben a monoszinomiális függvények részkúpot alkotnak.

Források

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Posynomialfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.