A matematikában a Pascal-szimplex a Pascal-háromszög és a Pascal-gúla multinomiális tételen alapuló általánosítása tetszőleges dimenzióra.
Általános Pascal-m-szimplex[szerkesztés]
Legyen m (m > 0) egy polinom tagjainak száma, és emeljük n-edik (n ≥ 0) hatványra.
Jelölje
a Pascal-m-szimplexet. Minden Pascal-szimplex egy félig végtelen objektum, ami komponenseinek végtelen sorozatát tartalmazza.
Jelölje
ennek az n. komponensét. Ez egy véges (m − 1)-szimplex, aminek élhossza n. Ekvivalens jelöléssel
.
az m tagból álló polinom n-edik hatványának együtthatóiból áll:
![{\displaystyle |x|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{0},\ m\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f9cbe15478b26643f9b5235d8c37cef84be8b8)
ahol
.
Példa:
[szerkesztés]
A Pascal-4-szimplex (A189225 sorozat az OEIS-ben) szelete k4 mentén. Az azonos színű pontok ugyanahhoz az altérhez tartoznak a pirostól (n = 0) a kékig (n = 3).
Speciális Pascal-szimplexek[szerkesztés]
A Pascal-1-szimplexnek nincsen más ismert neve.
egy pont, ami egy egy tagból álló, n-edik hatványra emelt polinom együtthatóit tartalmazza:
![{\displaystyle (x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}};\ \ k_{1},n\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d462868c6d1341b52dcdf0166f78d9e132bde2)
Az
elrendezése[szerkesztés]
![{\displaystyle \textstyle {n \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92856e04872073589a5ee9aa36534a70cba97aed)
ami mindenn-re egyenlő eggyel.
ismert, mint: Pascal-háromszög (A007318 sorozat az OEIS-ben).
egy sor, ami egy két tagból álló polinom n. hatványának binomiális kifejtése:
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b8a1f750bbb40a29de9175a5fd413388890d33)
Az
elrendezése[szerkesztés]
![{\displaystyle \textstyle {n \choose n,0},{n \choose n-1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6784fa940a845b9c3d5594ea08b41bf8dbca8e1)
nem más, mint a Pascal-tetraéder (A046816 sorozat az OEIS-ben).
háromszög egy 3 tagból álló polinom n-edik hatványának trinomiális együtthatói tartalmazza:
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f28e67c29b32102928b60d3d25219dcff0bee0c)
Az
elrendezése[szerkesztés]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0},{n \choose 0,n,0}\\\textstyle {n \choose n-1,0,1}&,\textstyle {n \choose n-2,1,1},\cdots \cdots ,{n \choose 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstyle {n \choose 1,0,n-1}&,\textstyle {n \choose 0,1,n-1}\\\textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c263f163da3effc306762e985b420744f5db00)
A komponensek öröklődése[szerkesztés]
szám szerint megegyezik
(m − 1)-lapjával (számuk m + 1):
![{\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\subset \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81fcbb90534c071082ea57ab885a1ef4fe5ee16)
Ennélfogva
(m + 1)-szer tartalmazza
-t:
![{\displaystyle \wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670c0044fa6e2667546b794b6bb1c8cbc1b0f019)
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2
1 1
1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1
3 6 3 3 6 3 6 6 3
3 3 3 3 3
1 1
A fenti mátrix további tagjait az (A191358 sorozat az OEIS-ben) tartalmazza.
Az oldallapok szimmetriája[szerkesztés]
Az
Pascal-szimplexet (m + 1)-szer
határolja:
![{\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577cb9c71874c0ed55ca6152bd012daa35bea78f)
Innen következik, hogy minden n-re minden i-lap numerikusan egyenlő a Pascal-(m > i)-szimplexek n. komponensével:
![{\displaystyle \wedge _{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\subset \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acec649c468801c76e3c5e78b1456c9d2232487)
A Pascal-3-szimplex 3. komponensét három egyenlő sor határolja. Mindegyik két 0-lapban végződik (csúcsok):
2-szimplex 2-szimplexek 1-lapjai 1-lapok 0-lapjai
1 3 3 1 1 . . . . . . 1 1 3 3 1 1 . . . . . . 1
3 6 3 3 . . . . 3 . . .
3 3 3 . . 3 . .
1 1 1 .
Tehát minden m-re és n-re:
![{\displaystyle 1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727ad282d57c02c964ed1889c26ccf2796dd5ffd)
A Pascal-m-szimplex n. komponense ((m − 1)-szimplex) ennyi multinomiális együtthatót tartalmaz:
![{\displaystyle {(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f6c68a4f3cb2b54c69892b4e7d1a2e0a4c05d2)
azaz vagy az (n − 1). komponens ((m − 1)-szimplex) együtthatóinak darabszámának meg a Pascal-(m − 1)-szimplex n.-edik komponensének ((m − 2)-simplex) együtthatószámának összege, vagy az n. hatvány összes m részes partícióinak száma.
Az együtthatók száma a Pascal-m-szimplex n. komponensében ((m − 1)-szimplex)
m-simplex |
n komponens |
n = 0 |
n = 1 |
n = 2 |
n = 3 |
n = 4 |
n = 5
|
1-szimplex
|
0-simplex
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1
|
2-szimplex
|
1-simplex
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6
|
3-szimplex
|
2-simplex
|
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21
|
4-szimplex
|
3-simplex
|
1 |
4 |
10 |
20 |
35 |
56
|
5-szimplex
|
4-simplex
|
1 |
5 |
15 |
35 |
70 |
126
|
6-szimplex
|
5-simplex
|
1 |
6 |
21 |
56 |
126 |
252
|
Ez a táblázat éppen a Pascal-háromszöget tartalmazza szimmetrikus Pascal-mátrix formájában.
A Pascal-m-szimplex n. komponense (m!)-szorosan térszimmetrikus.
Ha a k_1 ... k_m tengelyek ortogonálisak az m dimenziós térben, és a komponensek csúcsai ezekre a tengelyekre esnek, akkor a Pascal-m-szimplex csúcsa az origóban van.
Numerikus konstrukció[szerkesztés]
Egy elég nagy szám hatványa tördelve megadja a Pascal-szimplexet:
ahol
.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Pascal's simplex című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.